Question

ゲスト

なぜtの二乗になるのでしょうか？教えてください！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Joh6

V-tグラフを書くとわかります。

ゲスト

ご丁寧にありがとうございます！！すごくわかりやすいです！1つ分からないところがあるのですが、aってどういう意味なのでしょうか？教科書みても理解できなくて。

Joh6

加速度をaと表しています。これは、1秒間に速度がどれだけ大きく(or小さく)なるかを表す値です。
「加速度a＝3m/s²」とは、1秒で3m/sずつ速くなっていくということ。

もし加速度a＝3m/s²で、初速度v₀＝2m/sの運動なら、
0秒のとき2m/s→1秒のとき5m/s→2秒のとき8m/s
→3秒のとき11m/s→4秒のとき14m/s… というようになります。

別の例で説明すると、
1秒のときには右向きに4m/sだったけど、3秒になったときには右向きに12m/sだった という状況であれば、
「2秒間の間に12ー4＝8m/s だけ速くなった」ということです。これはつまり、
「1秒間に4m/sずつ速くなった」ということなので、加速度a＝4m/s²です。

ゲスト

なるほど！！ひっかかってたところがよくわかりました！！加速度とはそういうことだったんですね…！本当にわかりやすいです‼️ありがとうございます！

ゲスト

質問多くてすみません<(_ _)>a×tでやるとatになりますが、atとは何のことになるのでしょうか？

Joh6

加速度a〔m/s²〕とは、1秒ごとにa〔m/s〕だけ速くなる ということです。
3秒経ったらどれだけ速くなりますか？ a×3 〔m/s〕だけ速くなりますね。
じゃあt秒経ったらどれだけ速くなるでしょう？ a×t〔m/s〕だけ速くなります。

先ほど使った例「加速度a＝3m/s²で初速度2m/s」で考えてみましょう。
0秒から、1秒ごとに速度がどのように変わるか書いてみます。
v＝v₀＋atより、
0秒…v＝2＋(3×0 )＝ 2＋0 ＝2 m/s
1秒…v＝2＋(3×1 )＝ 2＋3 ＝ 5 m/s
2秒…v＝2＋(3×2 )＝ 2＋6 ＝ 8 m/s
3秒…v＝2＋(3×3 )＝ 2＋9 ＝ 11 m/s
4秒…v＝2＋(3×4 )＝ 2＋12 ＝14 m/s

というわけで、()の中に書いてある部分がatで、
初速度と比べてどれだけ速くなったのかを表す値です。

ゲスト

なるほど！ありがとうございます！！

Answer 2

J7W1

v=v0+vtを積分したからです。
もしくは
v-tグラフ(v=v0+vt)を考えた時の0からtまでの面積を考えていただければなぜ二乗になるのか分かっていただけるかと

ゲスト

積分するとはどういうことでしょうか？また、vtとは何のことでしょうか？物理本当に苦手で…😥

J7W1

あ、すいませんvtでなくatです。誤解招いてすいません。
積分については別に説明します

ゲスト

了解です！大丈夫です！ありがとうございます！

J7W1

積分というのは物理ではなく数学です。
積分の話をするには微分が切っても切れないのでまず微分の話をします。
ここでは数学ではなく物理なので物理的説明(ライプニッツよりニュートンの手法)を主にします。

ニュートンの時代は世の物理学者は運動や位置などが興味あるものでして
物体において位置と速度を考えた同じ時間がたった時時に速度が速いのと速度が遅いのとでは速い方が多くの距離を進んでるので、昔の人は速度と位置は関係あるものだと考えました。
ここで速度を単位時間あたりの位置の変化と定義します。(小学校の時と同じ定義です。)
さらに平均速度を⊿x/⊿tと定義します。
これは当時は一般的でしたのですが、例えば
tは0から10でxは0から10移動したとする。
さて、物体はどのように動いたでしょうか？となった時、平均速度は1なので毎秒1で動いたかと言われればわからないです。
例えばt=5から毎秒2で動き出したかもしれないし
t=9で毎秒10で動いたのかもしれないもしくは...etcなどいろいろと考えうるので平均速度は運動を考える上では何にも役に立たないものだったんです。さらに平均速度1とは言ってもずっと毎秒1で動いてるとも限らないし、急に速度が増してるかもしれない。
そこでニュートンは平均速度の⊿tが大きいから誤差が大きいから実際の速度と誤差が大きいと考えました。

ここで、準備ですが位置xは時間tの関数です。(位置を動かすにはどんなに頑張っても時間が経ってるので明らかかと思いますが...)
よってx=f(t)とおく。

ここでt=t,t=t+⊿tにおける平均速度を考える。
(平均速度)={f(t+⊿t)-f(t)}/⊿t
これは2点間t=t,t=t+⊿tを通る直線の傾きです。
よって(x-tグラフのある端点を通る直線の傾き)=平均速度
となります。

ここで⊿tを限りなく0に近づけます。
すると平均速度の0への極限は接線の傾きと同じになります。(図の点B,CをAに近づけていくと接線(赤線)の傾きになります。)

これが微分(差を微小に近づける)という動作です。(微分の方法は数2,数3をやって頂ければと思います。)

一方で積分を説明します。昔の人は面積というのはとても重要な問題でして、(面積は農業とかいろいろと使えるので...)数学者は曲線の面積を求めたく頑張っていました。
けれど求め方がわからないので仕方ないので面積公式が分かっている長方形を埋め尽くすことを考えました。(図のように。ここからは図に従って話します。)
ここで、長方形の幅を無限に0に近づけ、さらにその長方形で求めたい区間を埋めつくした時、その長方形の面積の総和は求めたい区間のグラフの面積と等しくなります。
この微小な幅(ここではdxとかく)
微小な幅の長方形の面積はf(x)dx
ここで、この和を取ると求めたい面積であるからSumの頭文字Sを縦に引き伸ばして∫とかき、
S(um)f(x)dx=∫f(x)dxと書く。
この面積を求める動作を積分をする。(微小な幅の直線を積み重ねる)と定義する。

ニュートンとライプニッツは微積分学の創設者なのですが、積分と同じ考えは遥か昔のアルキメデスも考えてたのですが、問題はそこではなく、
ニュートンとライプニッツは微分と積分は逆の演算である。と導き出しました。(導出は数学なので省略します。)

ここで物理に話を戻します。
位置を微分すると瞬間の速度になります。では逆に速度を積分すると位置になります。

こっからは教科書に書いてることを補足的に話します。

教科書などには位置=(v-tグラフの面積)
と書いていますが、なぜかは書いていません。
なぜかを言うと速度の定義が微小変化量の話(微分)の話で
逆にv-tグラフの面積を求める動作は積分という動作で
逆の演算ゆえ、
例えば1÷10×10=1なように(÷10と×10は互いに逆の演算)
位置を微分して積分すると位置になります。

よってv-tグラフの面積を求めることは位置を求めることになります。

これでようやく等加速度運動の話ができます。
ニュートンは速度の瞬間の変化量を加速度と定義しました。(簡単に言えば速度の微分)ここでは微分した結果を⇒で書くと
位置⇒速度⇒加速度
です。
速度⇒加速度ですから
積分であるa-tグラフの面積を求めれば速度vになります。
等加速度ですから定数関数ゆえ、面積は長方形ですから
速度=(初期値)+(グラフの面積)ゆえ
v=v0+at

位置は速度の積分ですからv-tグラフを書くと一次関数で、台形公式より
台形の面積=(1/2)×(上底+下底)×高さであるから
x=(1/2)(v0+v0+at)t
=v0+(1/2)at^2

こんな説明でだめですかね...？
ダメならまた言っていただければ...

ゲスト

なんとなくわかりました！😅長文ご丁寧にありがとうございます！！