The people I have known who seem to～
関係詞の二重限定です。The people I have known が全体集合で who seem to ～が部分集合になります。「私が（これまでに）知っている人」の中で「～するように思われる人」
rest most easily within themselves
この rest は「安心している；落ち着いている」の意で、この easily も「気楽に；安楽に」の意だと思われます。within oneself 「心の中で」をまとめると「心の内が最も安らかである（人）」、おそらく自分自身の置かれている状況に満足している人を指すのだと思います。
are those who have found(, by design or lucky accident,) the suitable place made just for them,
are の直前までが主部です。those who ～ 「～（する）人々」、have found the suitable place 「ふさわしい場所を見つけた（人々）」で、made just for ～「まさに～のために作られた」は place を修飾する過去分詞の形容詞用法です。このplaceは文脈から「職；仕事」の意と捉えるほうがよいかもしれません。
by design or lucky accident
by design は「故意に；意図的に」、by accident は「偶然に；たまたま」。「意図的に、あるいは幸運な偶然によって（見つけた）」
in whatever field it may be,
it = place です。「たとえその仕事がどんな分野であっても、」
lofty or humble,
A or B の譲歩句です。「ＡでもＢでも」。lofty「（地位が）高い」、humble「（地位が）低い」。「（その仕事の）社会的地位が高かろうと低かろうと」
so long as it gives them
it = place です。「その仕事がその人に～を与える限り」
（続き）
a sense of being needed, (a sense) of being purposeful, and (a sense) of doing it a little better than most others can.
A, B, and C の構造です。「必要とされているという感じ」「しっかりした目的があるという感じ」「たいていの他の人よりもその仕事を少しうまくやれるという感じ」（を与えてくれる限り）
※無生物主語構文であり、名詞表現が連続するので「その仕事によってＡ、ＢそしてＣを感じられる限り」としたほうが自然な和訳になると思います。