(1)テクニックの話になりますが、位置と速度の関係を問われてるときは、力学的エネルギー保存則を使ってときます。
時刻tを聞かれたら運動方程式から解きます。
補足をすると力学的エネルギー保存則は運動方程式を位置で積分したものなのでもちろん運動方程式から解くこともできます。
(2)単振動でも解けますよ。力学の全ての問題は運動方程式立てて求めたいものに応じて式変形して、問題文に与えられた条件を考慮すれば必ず解けます。
ただし実態はそんなことしてたら時間もかかるんで慣れると途中を省いて、いきなり力学的エネルギー保存則の式からはじめたりもします。
また単振動の性質を使えばさらに簡単に解けたりもします。