Question

えだまめ

赤線を引いた部分はなぜ足すのですか？
（7,3,0）のときと（8,1,1）のときがあるってことですよね？

発展
215 (1+2x-x2) 10 の展開式で、xの係数を求めよ

215 展開式の一般項は
10!
・1P.(2x)(x2)*
(2x
p ! q ! r !
10!
SUR
=
・2%(-1)' x 9+2r
p!q!r!
223
(1)
ただし P+9+2=10, p≥0, q≥0, r≥0
x3 の項は α+2r=3のときで, g20120であ
るから
r=0, 1
,
よって, g+2v=3p+g+r=10を満たす負で
ない整数,g,rの組は
(p,g,r) = (7,3,0), (8,1,1)
G
したがって,求める係数は
7!3!0!
10! 23-18!1!1!
10!
2(-1)¹
auxf
960-180=780

数学ii

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

その通りです！
2通りの組み合わせがあり、
（7,3,0）のときのx^3の係数
（8,1,1）のときのx^3の係数
を合計して、x^3の項の係数をまとめています

えだまめ

なんで足すんですかね……？
私は２つの足すんじゃなくて、２つ答えが出て終わりだと思ったんですが、この場合とこの場合があるっていうのは、同時に起こっているわけではないのになんで足すのかがわからないです🙇🏻‍♀️🙏🏻

GDO

例えば、(1+x+x²)²の展開計算は、
1+x+x²+x+x²+x³+x²+x³+x⁴になりますが、
このまま終了したら、不正解です
同じ次数はまとめなければいけません。
⇒1+2x+3x²+2x³+x⁴
ーーーーー
ということで、(1+2x-x²)¹⁰を展開したときのx³の項を合計してます
(1+2x-x²)¹⁰＝1+〇x＋△x²＋(960x³-180x³)＋□x⁴＋…+x²⁰

えだまめ

何度もすみません💧
その理屈はわかっているのですが、(7,3,0)と（8,1,1）は同時に起こらないですよね？
やっぱりなんで足すのかわからないです……(>_<)

GDO

同時に起こらないから足しているのですが、同時に起こったら足さないです。
もし同時に起こったら、どっちかに含まれているので、足したら重複してしまいます。
（悩みは理解しましたが、どう回答してよいかわからないです）
例えば、(1+2x-x²)³でx³の係数を展開して求めてみてください。

GDO

先ほどの例の展開式
1+x+x²+x+x²+x³+x²+x³+x⁴　
すべて同時に起こっていません。
計算してでてきた同じ次数は足します。
⇒1+2x+3x²+2x³+x⁴
なので「同時に起こらない、足している」です

えだまめ

何度も答えてくださりありがとうございます😭🙇🏻‍♀️🙏🏻
解決できました！🙂‍↕️💝

GDO

・同時に起こる⇒足す
・同時に起こらない⇒足さない（足せない）
これを考えた理由がわかれば、解説できるかもしれません。