Question

凪

(3)の問題で、解説の方の黄色い線を引いた部分がわからないです。何故、3/4に統一できるのか教えて欲しいです。

例題1・1
次の数列の極限を求めよ.
(1) lim
4n³-3n+4
n→∞ 12+22 +32 +......+n2
n2+4n
V (2) lim
218 3"
2.3"
(3) lim
n→∞
n!
(4) lim
1
n→∞n
(5) lim
nπ
sin-
8
nπ
32 (cos +5)
non
3
(
(3)
2

3
'
n
4
をすべて22に統一し評価する)
は極限をとるの
(3)
2.3"
0<- ・=2・
3
3
3
3 3
33
3-6
4'5'6'
3
3 3
3/3
n-3
<2.
n!
1
2
3 4 5
n
1 2
3 4
n個の積
0< 2.3ª <9 (2)
n!
(最右辺) →0 (n→∞)
はさみうちの原理より.
-√10:1
(10-1)r
で,十分大きなn
を想像してもよい/
(
2.3"
lim -= 0 (答)
n→00 n!
J 30-YOX 610

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

本来、この関数はどんどん分母が小さくなっていき、最終的にはほぼ0に近い量をかけることになりますが、それを感覚ではなくちゃんと示しているのがはさみうちの原理です。はさみうちの原理を使うためには、上側と下側それぞれが極限を求められる形でないといけません。下側は0なのでよいですが、上側を極限計算できるものにしなければなりません。その上で、上側から挟むものは極限を飛ばしたら0に行くものでないとはさみうちにならないので意味がありません。3/4以降の3/5, 3/6, 3/7...は全部3/4より小さいことから、(3/4)^n-3と置き換えられ、こうすることで等比数列になるので極限が求められるようになります。この理屈で言うと、別に3/5のn-4乗でも同じことなので構いませんが、(3/3)^n-2や(3/2)^n-1などとしてしまうと、n→∞でも、1や∞に飛んでしまってうまく挟めません。

Answer 2

きらうる

はさみうちを使いたいので、大小評価をしています。

例えば、
3/4・3/5・3/6　と　3/4・3/4・3/4
どちらが大きいかと言えば、左辺になりますよね

今回の問題は、
3/4・3/5・…・3/n　と　3/4・3/4・…・3/4
どちらが大きいかと言えば、左辺になるので、

(3/1・3/2・3/3)・3/4・3/5・…・3/n
　　　　＜(3/1・3/2・3/3)・3/4・3/4・…・3/4
が成り立つことを言っています