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P,Oから平面ABCDに降ろした垂線の長さをそれぞれh,𝒙、OP,AE,DFをaとすると、PA,EB,FAは2aと表せられる
まず四角錐O-ABCDの体積は、
(a+2a)²×𝒙×1/3=9a²×𝒙/3=3𝒙a²･･･①
次に三角錐P-ECFの体積を求める
2枚目の図より青で囲ったふたつの三角形は相似だから
2:(2+1)=h:𝒙 が成り立つから𝒙=3h/2･･･②
この三角錐の底面の三角形ECFの面積は
(正方形の面積)-(三角形AEF)-(三角形DFC)-(三角形BEC) であるから
(a+2a)²-(1/2×a×2a)-(1/2×a×2a)-(1/2×2a×3a)
=9a²-a²-a²-3a²
=4a²
よって体積は4a²×h×1/3=4a²h/3･･･③
①,②,③より
四角錐O-ABCDと三角錐P-ECFの体積の比は
3𝒙a²:4a²h/3
=3a²×3h/2:4a²h/3
=9a²h/2:4a²h/3
=9/2:4/3
=27:8
だとおもいます
違ってたらごめんなさい🙏
錐の体積=(a)×(b)÷3
3角錐PECFの高さをh、底面積をsとする。4角錐の方が明らかに体積が大きいので、x,yを用いて4角錐OABCDの高さをxh、底面積をysとする。
体積比について
3角錐:4角錐=(c):(d)=1:(e)
したがって、xとyがわかればいい。
3角形OACについて、OからACへの垂線をOZ、PからACへの垂線をPＹとする。△PAＹ∽△CAZなので相似比を考えると、PＹ:OZ=(f):(g)なのでOZ=PＹ×(h)
PＹ、OZはそれぞれ錐体の高さなので高さについて、3角錐:4角錐=1:(h)
4角形ABCDと3角形CPEについて、DP:PA=(i):(j)なので、DP:PA:DA=(i):(k):(l)
DPの長さを1とすれば、4角形ABCDおよび、内部の直角3角形について辺の長さがわかる。
△CPE=□ABCD-(m)-(n)-(o)なので
面積比について△CPE:□ABCD=(p):(q)=1:(r)
以上より、体積比について3角錐:4角錐=1:(s)=(t):(u)
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ありがとうございます！！