Question

いつき

作図の画像より、
線分BGが、(BE*BF)/(BE+BF)であることを、証明して頂けませんか？
なお、BC=BDになります。

よろしくお願いします。

C
E
B
R
60°
60°
G
F
D

作図 証明 調和平均

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あべへべ

線分BGに平行で点E,Fを通る直線をひき図のようにそれぞれの交点をH,Iとする。
BG//HE//IFより
錯角が等しいから
∠GBE=∠BEH=60°　∠GBF=∠BFI=60°　･･･①
また∠HBE=60°　∠IBF=60°　･･･②
よってふたつの三角形BHEとBIFの残った角も60°てあるからこのふたつの三角形は正三角形になる
ここで、BE=a,BF=bとするとHE=a,IF=b

三角形EBGとEIFはBG//IFより相似でその相似比は
角の二等分線の性質からBE:BF=GE:GF
BE:BF=a:bよりBE:(BG+GF)=BE:BF=a:a+b
BG:IF=a:a+b　　IF=bより
BG:b=a:a+b　　BG=ab:(a+b)
文字を元に戻し、BG=(BE×BF)/(BE+BF)

遠回りの回答かもしれませんが

いつき

ご回答ありがとうございます。

すみません、下記の途中式について、ご補足いただけますでしょうか？

・BE:BF=a:bよりBE:(BG+GF)=BE:BF=a:a+b

よろしくお願いいたします。

あべへべ

すみません、間違ってましたね
正しくは
角の二等分線の性質からBE:BF=EG:GF
BE:BF=a:bよりEG:GF=a:b　EF=EG+GFであるから
EG:EF=EG:(EG+GF)=a:a+b
だと思われます

いつき

無事解決できました。

・BE:BF=a:bならば、EG:GF=a:b
・EF=EG+GFであるから、EG:EF=EG:(EG+GF)=a:a+b
・BG:IF=a:a+b　　IF=bより　
　BG:b=a:a+b　　BG=ab:(a+b)
・文字を元に戻し、BG=(BE×BF)/(BE+BF)

ありがとうございました。