Question

Juno

想問這題（答案是3、5

11. 有一直角三角形,其中兩股長分別為a、b,斜邊長為c,若a、b、c為互質正整數,羅馬
時期的數學家丟番圖(Diophantus)約在西元前250年提出下列公式:
a=m²-n²
b=2mn ,
其中m,n為互質正整數(m>n)。
c=m²+n²
根據此公式,當a=m²-n²為質數時,則下列哪些選項中的數值不可能為完全平方數?
(1)b+c
(2) 26+1
(3) 2c+1
(4)2(a+b+1)
(5)2(a+c+1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

a = m²-n² = (m+n)(m-n) 為質數
由於 m, n 皆為正整數且 m>n
因此 m+n 為質數，且 m-n=1

得到方程組
{ m+n = a
{ m-n = 1
解得 m = (a+1)/2 , n = (a-1)/2

(1) b+c = m²+n²+2mn
= (m+n)²
= a²
為完全平方數

(2) 2b+1 = 4mn+1
= (a+1)(a-1) + 1
= a²
為完全平方數

(3) 2c+1 = 2(m²+n²)+1
= 2[(a+1)²/4 + (a-1)²/4] + 1
= a²+2
因為連續完全平方數的差 ≥ 2²-1² = 3
所以 2c+1 不可能是完全平方數

(4) 2(a+b+1) = 2a + 4mn + 2
= 2a + (a+1)(a-1) + 2
= a² + 2a + 1
= (a+1)²
為完全平方數

(5) 2(a+c+1) = 2(2m²+1)
= (2m)²+2
與 (3) 同理，2(a+c+1) 不可能是完全平方數

Juno

懂了！謝謝❤️