Question

ちづ

式の立て方はわかるのですが、どうして振動の中心が変わるのかわかりません。教えて頂きたいです🙇

52. <あらい面上で振動する物体の運動〉
ばね定数
質量m
図のように, 水平なあらい床の上に質量mの物
体が置かれている。 物体はばね定数んのばねで壁と
つながっている。 右向きにx軸をとり, ばねが自然
の長さのときの物体の位置を原点とする。 次の問い
に答えよ。 ただし, 重力加速度の大きさをgとする。
物体を原点より右側で静かにはなす実験を行った。物体を位置 d(> 0) より左側ではなす
とそのまま静止していたが,右側ではなすと動きだした。
(1) 物体と床の間の静止摩擦係数μを求めよ。
0
x
物体を位置 x(>d) から静かにはなすと, 物体は左向きに動きだした。 その後, 物体の速
さは位置 x1 (<-d)で初めて0となった。
(2) 物体と床の間の動摩擦係数μ' を求めよ。
(3)物体の加速度をαとして,左向きに運動している物体の位置xでの運動方程式を示せ。
(4) 物体が x から x1 に移動するまでにかかった時間を求めよ。
(5)xo から x1 に移動する間で, 物体の速さが最大となるときの位置と速さを求めよ。
その後, 物体は右向きに動きだし, ある位置 (>d) で再び速さが0となった。
(6)x1 から再び速さが0となった位置に移動する間で, 物体の速さが最大となるときの位置
を求めよ。
(7) 物体の速さが再び0となった位置 x2 を x と x1 を用いて表せ。

ヒント 52 〈あらい面上で振動する物体の運動>
(4) 単振動している物体の加速度αは,振動の中心xc と角振動数 ω を用いて a=ω2 (x-xc) と書ける。
(2) 力学的エネルギーの変化は,非保存力がした仕事に等しい。
(1) 物体が位置 x で静止しているとき,床から物体が受ける静止摩擦力の
大きさをf, 垂直抗力の大きさをNとおくと, 物体にはたらく力は図a
のようになる。 力のつりあいの式は
N=mg
f=kx
と表せ, fuN を満たすとき物体は静止する。 よって x=dのとき
は
kd=μmg ゆえにμ=
kd
mg
kx
mg
(8)x
と
よ
0
X
図 a
(9)
速さ 0
00000000000
(2) 力学的エネルギーの変化は非保存力がした仕事に等しいので(図b)
(±±m·0²+\— ±kx;²)–(²±² m⋅0²+½-½ kx²)=−µ'mg×(x−x₁)
'+
k(x²-x₁²)=μ'mg (x-x1) よってμ'=
k(x+x1)
2mg
(3) 物体の位置がxのとき, 物体にはたらく力は図cのようになるので,
運動方程式は
ma=-kx+μ'N=-kx+
k(x+xixmg (①式より)
2mg
xo+x1
よってma=-kx-
2
凸
速さ
0
mrrrrrrrrrr
x10
x0
図 b
N
kx
ヒン
UN
mg
x+x1
(4) 物体が左向きに運動しているときは,②式より, 中心がx=-
2
0
I
x
図 c
k
で角振動数が = の単振動となることがわかる(図d)。求める時間
x0+x1
m
は周期 Tの半分にあたるので
2π
X1
2
xo
端
中心
t₁ = 1½ T = 1 × 2² = 1×2π √
m
m
=π
k
k
W
(5)物体の速さが最大となるのは振動の中心なので x=x+s
2
振幅
Xo-x1
図 d
2
そのときの速さを vM とおくと, 振幅が角振動数が
なので(図
UM
m
速さ 0
e) 「最大=Aw」 より
UM=
X0-X1
k
2 V m
(6)物体が右向きに運動していて, 位置がxのとき物体にはたらく力は図
fのようになるので, 運動方程式は
ma=-kx-μ'N=-kx-
k(xo+x1)
-mg
2mg
x+x1
よって ma=-kx+
中心
X-X1
図e
2
N
kx
ゆえに、速さが最大となるのは振動の中心なので x=- x+x₁
2
(7) 振動の端の位置がx と x2 であり,その中点が振動の中心なので(図g)
x+x2=x+x1
2
よって x2=-xo-2x1
2
端
X1
0
AN
図
中心
mg
x
x
x
端
X2
x