✨ ベストアンサー ✨
そこまで難しく考える必要はないと思います。（おそらく運動量、運動エネルギーは保存しないと思います。）
運動方程式から速さvを出して角運動量保存でrの式を立ててvを代入すれば解けると思います。（写真見づらくてすみません）
力学的エネルギーは保存されますよ
本当ですか！すみません！式を教えてもらえないでしょうか。
これから予定があり、しばらくお待ちください。
（回答は夜中か明日になります🙇）
結局のところ角運動量保存の式を利用するのが簡単ですが、以下のような手順になります
力学的エネルギー保存の式（積分方程式）⇒微分方程式⇒微分方程式を解く⇒角運動量保存の式と同じ結果が導かれる
＜概略＞取り急ぎ、超概略です
1/2mvᵣ²=1/2mvₓ²+∫Fdt (F=Mₜg=mvₜ²/rₜ)
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力学的エネルギー保存を示すだけであれば比較的簡単です
各速度ωではなく速度vを使って説明します
r、vᵣ、Mᵣ：初期条件（半径、速度、砂袋の質量）
x、vₓ、Mₓ：半径xのときの、つり合いの半径、砂袋の質量
■力学的エネルギー保存が成り立つことを示してみる（角運動量保存を使用）
・初期値(半径r)：mvᵣ²／r=Mᵣg･･･力のつり合い（遠心力＝重力）
・半径がxのとき：mvₓ²／x=Mₓg･･･力のつり合い（遠心力＝重力）
〇運動エネルギーの変化（1/2・mvₓ² - 1/2・mvᵣ²）
（角運動量保存：mrvᵣ=mxvₓを使うと）
1/2・mvₓ² - 1/2・mvᵣ²
＝1/2・mvᵣ²{r²／x² - 1}･･･①
〇位置エネルギーの変化（：Wₓ（=Fₓx=Mₓgx）・・・∫Fdx=∫Mₓgdx：Mₓは位置で異なる)
Mₓ：mvₓ²／x=Mₓg･･･砂袋の質量とつり合いを保ちながら変化
W=∫Mₜgdt=∫mvₜ²／t dt （角運動量保存：mrvᵣ=mxvₜを使うと）
=∫mr²vₜ²/t³ dx [r≦t≦x]
=1/2mvᵣ²{r²/x² - 1}･･･②
①+②=0：運動エネルギー変化+位置エネルギー変化=0
⇒力学的エネルギーは保存されている
■力学的エネルギー保存から問題を解いてみる
・初期値(半径r)：mvᵣ²／r=Mᵣg（=8mg）･･･③
・半径がxのとき：mvₓ²／x=Mₓg（=mg）･･･④
・力学的エネルギー保存： 1/2・mvᵣ²=1/2・mvₓ²+∫Mₜgdt [r～xの積分]･･･⑤
（運動エネルギー+位置エネルギー）
Mₜを8m～mへ変化させるのが困難なので、⑤を使ってt、vₜ、Mₜの関係を調べる
⑤⇒ 1/2・mvᵣ²=1/2・mvₓ²+∫mvₜ²／tdt
ｘで微分すると、0=vₓ・dvₓ／dx+vₓ²／x ⇒ dvₓ／vₓ= -dx／x
積分すると、 vₓ= C／x となり、x=ｒのときvₓ=vᵣなので、C=rvᵣ
よって、vₓ= rvᵣ／x ⇒ xvₓ= rvᵣ
（角運動量保存と同じ式 mxvₓ= mrvᵣが導かれた）
以下はご存じのとおり
・初期値(半径r)：mvᵣ²／r=Mᵣg（=8mg）･･･③
・半径がxのとき：mvₓ²／x=Mₓg（=mg）･･･④
・xvₓ= rvᵣ･･･⑥
上記３式から、x=2r、vₓ=√(2rg)が求まる
角速度で表すとωₓ=√(g/2r)
―――――
⑤は、万有引力の力学的エネルギー保存の式に似ています
（面積速度一定は、各速度一定と似てます）
丁寧にありがとうございます！わかりました！！
理解しました！ありがとうございます🙇