disagreeは動詞で「同意しない」「賛成しない」といった意味で使われます。主に意見や考え方に対して反対する際に使われ、againstは前置詞で「〜に反対して」「〜に対抗して」という意味で使われ抽象的な反対の立場を示す際に使います。(先生がそう言っていました。一応調べてみてください。)
例:I disagree with your opinion.(私はあなたの意見に反対です。)
I disagree with his suggestion.(私は彼の提案に同意しません。)
He is against the new policy.(彼は新しい政策に反対です。)
She is against the new law.(彼女は新しい法律に反対しています。)
…みたいな使い方ができるでしょう。
ありがとうございます!