Question

ぶー

丸く囲った部分をなんで3分の1でくくるのかが分かりません😭
解説動画で分母と分子の3を約分するためと言っていたけど、3分の1が無くても3K➖3Kで3は消えるし、分子1になりません？
意味が分からないので教えて下さい😭😭

382
基本 例題 21
分数の数列の和
数列
1
1
25' 58'8·11
1
・の初項から第n項までの和を求めよ。
0000
基
CHART & SOLUTION
分数の数列の和 部分分数に分けて途中を消す
分母に着目すると,第に項の分母は (3k-1)(3k+2)
このような形の分数は部分分数に分けて差の形にすることができる。
3
2 重要 29
を
a
(
1
3k-1
1
3k+2
を計算すると
=
(3k-1)(3k+2)
よって
(3-1) (3k+2)=3(3-1-3+2)
この式に k=1, 2, ......,
を代入して辺々を加えると、隣り合う項が消える。
解答
1
この数列の第ん項は
(3k-1)(3k+2)
利用される。
if 次の式の変形はよく
)
1
(3k-1)(3k+2)
1 (3k+2)-(3k-1)
3
a≠6のとき
1
(k+a)(k+b)
33k-1
3k+2/3
b-a
この式にk=1,2,
入して,辺を加えると
1
1
1
1
(k+a)(k+b)
b-ak+a k+b
1 (k+b)-(k+a
1
+
+
+
2.5 5.8
8.11
(3n-1)(3n+2)
部分分数に分ける。
1 1
1/1
=
+
+
32
3
38 11
1 1
3 3n-1
3n+2
• =/(1/1)+(1/1)+(1/
11
途中の
32
n
1.3n+2-2
3n+2/ 32(3n+2)
2(3n+2)
1/
(3n-1-3n+2)}
1 1 1
5'
8'11'
3m-」が消える。
1,2を代入して検算
しておくとよい。

数b 数列 部分分数分解

Answer 1

ブドウくん

なんか難しく考えすぎていませんか？その1/3は前の行から前についていた1/3ですよ。分からなければ、赤丸で囲んだ式を通分してみて上の式に戻るか確かめてみればいいと思います。

ぶー

前の行からなんで1/3が付いてるのか分かりません。
1/3ついてなくても変わらなく無いですか？

ブドウくん

ならば一旦1/3無しだと思って計算してみましょう。イコールの右と左、どちらも分母は(3k-1)(3k+2)です。左は分子が1です。右は、分子の計算をしたら、3kが消えます。同時に2-(-1)=3が出てきます。つまり、1/3をつけないと1=3になってしまいます。

ぶー

あ！分かりました！ですが、1/3つけてどうするんですか？何のために付けているのか、、、、😿

ブドウくん

どうするってどういうことでしょうか？イコールで繋ぐ限り、同じものじゃないといけないのは当然かなと思うのですが…

ぶー

1番上の式のまんまじゃダメなんですか？

ブドウくん

この問題で部分分数分解をわざわざしているのは、シグマをとることが最終目標だからです。そもそも「こんなよく分からない等差でも等比でもない数列じゃシグマの公式も使えないなあ、困ったな」っていうところから始まってます。ならばどうにか工夫して足し算できる形にしようということで部分分数分解という手法を用いています。そうすることで、模範解答で　/　が書かれているように、うまく消えてくれて、端だけ残り、公式を使わなくても足し算できるようにしているんです。例えば、理系数学ならば数3で積分するときにも部分分数分解は登場しますが、それもこのままの形じゃ積分できないからです。問題全体の解答の流れ、意図を理解するように努めると良いと思います。

ぶー

なるほど🫠やってみます