✨ ベストアンサー ✨
"A new library is already （ ）in the city."
「市内にはすでに新しい図書館が建設されている（≠既に建設が完了している）。」
①having built（×）
②builds（×）
③being built（○）
④building（×）
選択肢①が間違っている理由は、受け身の現在進行形であるこの文の空所に入る語句としては不適切だからです。
文中に"already"があるとなんだか①を選びたくなるものですが、この文章は「図書館の建設がすでに始まっていて、今もその動作が進行中」という内容です。
したがって、選択肢①のような現在完了？のような語句では受け身の現在進行形という意味が通りません。
そもそも、受け身の表現方法は
（ⅰ）主語＋be動詞+動詞の過去分詞形
です。
また、現在進行形の表現方法は
（ⅱ）主語＋be動詞+動詞の-ingの形
です。
上記（ⅰ）（ⅱ）を踏まえて選択肢を見ていきます。
まず"build"の三人称単数現在形である選択肢②buildsは候補から外れます。
次に、"build"の進行形である選択肢④buildingは、"A new library is ~(後略)."というモノが主語になっている文章の空所に入れると、図書館が動作の主体になってしまい、受け身の現在進行形を表現できず、意味が通らないので、これも候補から外します。
そして、質問者さんが選んだ①having builtが誤りである理由ですが、私には「①では受け身の現在進行形を表現できないから」以上の説明ができません。もしこの文が現在完了進行形であれば、文中にbe動詞の現在形であるisは使われないはずです。
最後に、残った選択肢③を選びます。
ここまでの説明を分かり易くするために例文を用いて説明します。
受け身の文章：A new library is built in the city.（市内に新しい図書館が建設される。）
現在進行形：The city is already building a new library.（市はすでに新しい図書館を建設している。）←「市」を主語にした文章
受け身の現在進行形：A new library is already being built in the city.（市内にはすでに新しい図書館が建設されている。）←「新しい図書館」を主語にした文章
「建設が終わっている」という現在完了形の文で表現したければ、以下のように書いてください。
「市」を主語にした現在完了形：The city has already built a new library.（市はすでに新しい図書館を建設している。）
「新しい図書館」を主語にした現在完了形：A new library has already built in the city.（市内にはすでに新しい図書館が建設されている。）
「新しい図書館」を主語にした現在完了形：A new library has already been built in the city.（市内にはすでに新しい図書館が建設されている。）
です。beenが抜けていました、すみません。
納得しました！ご丁寧にありがとうございました🙇♀️🙇♀️