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まずこのbecauseの節は語順が入れ替わっています。
they use 主語動詞
<what brain tissue they do have left> 目的語
so efficiently 副詞
<>の中身はこうです。
まずtheyは、その前にも出てくるtheyと同じで
some people or others ということです。
doは強調のための助動詞で、have leftは完了形
whatは、語順的にbrain tissueを修飾している、形容詞的な働きをしているのがわかりますか？
関係形容詞のwhatと言ったりするやつです。
関係代名詞のwhatは
what〜のまとまり全体が一つの名詞節になりますよね。
で、「〜すること」みたいな意味になる
the thing(s) that〜 に直せる、とか言ったりもしますが
関係形容詞も基本的な使い方は似ていて
what 名詞 +〜 のまとまり全体が名詞節になる
だから今回も<>全体が目的語になってますね。
かつ
what 名詞 の部分が「全ての[名詞]」というような意味になります。
関係形容詞は
what little/few 名詞〜 というふうに
littleやfewが付いたりする場合があって
「なけなしの」とかっていう定番の訳があったりしますが
実はlittleやfewなしの（what 名詞 の）場合でも
その[名詞]が「少ない」という
意味を含んでいます。
だから
<what brain tissue they do have left> は
彼らが残しているわずかながらの脳組織すべてを
というような感じでいいと思います。
すみません、do have leftの部分についての解釈
いろいろ悩んで、いろんな解釈を書いたのですが
全然違いました…
超恥ずかしい。
↓が正しいです 誤解なきよう
<what brain tissue they do have left>
がひとまとまりで
doは強調の助動詞、
haveは使役動詞で、だから文型はSVOCです。
この<>の語順を平叙文に直すと
they do have what brain tissue left
leftはCにあたります。
「彼らが、わずかながら全ての脳組織を、残しておく」
<what brain tissue they do have left>は
「わずかながら彼らが残しておいている全ての脳組織」
ちなみに
①leave A／②have A left
何が違うかというと
①の場合は、Aを残す という動作を主語が自分の意志で直接やることになります。
②の場合は、結果的にAが残っている（=過去分詞のleft）という状態にするのに、haveの主語が関わるということです。
消したコメントに書いたのですが
do have leftを 強調の助動詞+完了形 とすると
障害なり病気なりで脳組織に欠損がある当事者が、
自分の意志で脳を残している
ということになるけど、
これはちょっと気になったんです。
希望しても医学的に可能かもあるし、
病気の進行って自分ではコントロールできないので、自分の意志100%だけでは、「脳組織を残す」ことはできないからです。
使役を使った②の表現だと、
Aが残っているという結果に対して、主語が関わっている
ということを言ってはいますが
直接「残した」のが主語だとは言っていない
ということになるので
ここではすごくしっくりきますね。
haveの主語が、脳組織を残したいと希望して
それによって医者が頑張って
結果として脳組織が残る
というようなことを言えます。