Question

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求解2 、3題！

1. 阿南想用一張邊長6公分的正方形色紙ABCD摺成一個
四面體。他的想法是這樣的:在BC與CD 邊上分別取中
點P,Q,再以虛線連接AP,AQ與PQ,如右圖一;然後
將此正方形色紙分別沿著虛線AP,AQ, PQ往上摺起,使
得B,C,D三點重合於H點,則四面體H-APQ就是阿南
想要的圖形,如右圖二。就右圖二,回答下列問題。
(1)試證:平面APH,PQH,AQH兩兩垂直。(3分)
6
(2) 點 H 到平面 APQ 的距離為下列哪一選項?(單選題,3分)
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
(3)平面APH與平面APO的銳交角最接近下列哪一選項?
(A) 37°
(B) 42°
(已知sin37° ≈
3
,
5
(C) 45 °
sin 42°
(D) 48°
2
≈-
3
9
(E) 53°(單選題,4分)
sin 49°
3
4
,
sin 53°:
≈
4
5
(
【解】
(1)
(2)
6
D
nanc
H
圖二
10

平面方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

(2)
<解一>
(圖一)設線段AC交PQ於點R
(圖二)所求即H到AR的距離
因為AH垂直平面PQ，所以AH也垂直HR
△AHR面積 × 2 = AH × HR = AR × 所求
所求 = AH × HR / AR
其中 AH=AB=6, HR=CR=3√2/2, AR=6√2 - 3√2/2 = 9√2/2
所求= 6 × (3√2/2) / (9√2/2) = 2

<解二>
因為 HA, HP, HQ 兩兩垂直
H-APQ體積 = HA × HP × HQ / 6
但 H-APQ體積 = △APQ面積 × (H到平面APQ距離) / 3
所以 HA×HP×HQ=2×△APQ面積×(H到平面APQ距離)
3×3×6=2×△APQ面積×(H到平面APQ距離)
其中 △APQ面積=6²-2(6×3/2)-3²/2=27/2
所以 (H到平面APQ距離)=3×3×6/27=2

(3) (H到AP的距離)=(B到AP的距離)=6/√5
設夾角θ
則 sinθ = 2/(6/√5) = √5/3
cosθ=2/3≈sin42°
θ≈90°-42°=48°