今年度の公立高校入試の問題です。

数学

中学生

解決済み

約1ヶ月前

今年度の公立高校入試の問題です。
途中までは解けましたが、（2）②がわかりません。
どなたか解説をよろしくお願いします。

4 図1は、CD=4cm, ∠BDC=90°の直角二等辺三角形BCD を底面とする三角すい ABCD であり, 辺AD は底面 BCD に垂直で、 AD=4cmである。また, 点Eは辺ACの中点である。図1 このとき、次の問いに答えなさい。ただし、根号がつくときは、根号のついたままで答えること。 (1) CDの中点をFとする。 ① 線分 BF の長さを求めなさい。 ② 三角すいEBCF の体積は, 三角すい ABCD その体積の何倍であるか, 求めなさい。 B 4 cm 4cm CD 図2 B (2)辺CD上に点Pを, 2つの線分BPとPEの長さの和が最小となるようにとる。図2は、三角すい ABCD の展開図の一部で、 ABCD と△ACD の部分を示したものである。 ① 線分 PDの長さを求めなさい。 ②辺BC上に点Qを,三角すい EQCPの体積が三角すいEABDの体積のとなるようにと 2 る。このとき、線分 BQ と線分 QC の長さの比 BQ QC を求めなさい。答えは最も簡単な整数比で表すこと。 C D E

高校入試数学図形の問題比三角錐

回答

✨ ベストアンサー ✨

mo1

約1ヶ月前

参考・概略です

①ＰＤ＝(4/3)

②
三角錐ＥＡＢＤ
　底面：△ＡＢＤ＝(1/2)×4×4＝8
　高さ：Ｅと△ＡＢＤの距離4×(1/2)＝2
　体積：(1/3)×8×2＝(16/3)　　

三角錐ＥＱＣＰ
　体積：(16/3)×(1/2)＝8/3
　高さ：Ｅと△ＱＣＰの距離4×(1/2)＝2
　底面：(1/3)×△ＱＣＰ×2＝(8/3)より
　　　　　△ＱＣＰ＝4

△ＱＣＰについて
　底辺：ＣＰ＝ＣＤ－ＰＤ＝4－(4/3)＝8/3
　面積：4
　高さ：(1/2)×(8/3)×高さ＝4　から
　　　　　高さ＝3

高さがＱから底辺ＣＰ(直線ＣＤ)までの距離3であり
　点Ｂから直線ＣＤまでの距離が4であるので
　4：3＝ＢＣ：ＱＣ　で、ＢＱ＝ＢＣ－ＱＣより
　ＢＱ：ＱＣ＝1：3

補足【体積を求めませんが、以下に注目すると一番速そうです】
　２つの三角錐の高さが等しいことから
　　底面積△ＱＣＰが{△ＡＢＤ＝△ＢＣＤ}の(1/2)になるので
　　　(ＣＰ/ＣＤ)×(ＣＱ/ＣＢ)＝1/2を考え
　　　　(ＣＰ/ＣＤ)＝(8/3)/(4)＝2/3から
　　　　(ＣＱ/ＣＢ)＝(3/4)で、ＢＱ：ＣＢ＝4：3
　　　　つまり、ＢＱ：ＱＣ＝1：3