回答

that way 自体が副詞句です。おそらく高校で使用する文法書には副詞的目的格という用語で解説されているはずです。簡単に言えば、名詞が副詞として機能するということです。もちろん単純に in が抜け落ちたものと考えても構わないかと思われます。たとえば、this week というのも副詞的目的格というもので、in this week の in が抜け落ちたと考えられます。

in this week → this week

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wayという単語は前置詞がよく落ちてしまうんです。
だからここではthat wayは、(in) that wayってことです。
そんなふうに とでも訳せば良いでしょう。

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