Question

ますっぺ

この問題に関して質問です。

（ハ）の解説で2行目の式から3行目の式にどうすれば変換できまか？

教えて頂けると助かります

3 重力波はアインシュタインの一般相対性理論により約100年前に予言された, 空間の伸び縮
みが横波として伝わる現象である。 2016年に重力波の初めての直接検出が報告され,現在では世
界的に観測が行われている｡ その基本的な原理はマイケルソン干渉計によるものである。
図のようなレーザー光源を用いた装置で, 光の干渉を利用して微小な距離変化を測定する。 装
置は、真空中にあるとする。 レーザー光源から出た光の進行方向をx軸の正方向に取る。 レーザー
光源は軸上の<0の位置にある。原点Oに軸に対して45°傾けて設置された厚さがじゅう
ぶんに薄いビームスプリッターにより、レーザー光は半分透過し、残りが反射する。 透過した光
はそのままぁ軸上を進み, z=L+Xの位置にある鏡1で全反射する。 一方,原点で反射した
光は軸に垂直な方向に進行する。 この進行方向を軸の正方向に取る。 y軸上を進行した光は、
=L+Yにある鏡2で全反射する。 鏡1と鏡2で反射した光は再び原点0で半分に分けられ、
部がy軸上の負の位置にある点Dの光検出器に入射する。 これにより, AOBOD という経路の光
と, AOCOD という経路の光が干渉し、 検出器で観測される。 レーザー光の波長を入とする。 簡
単のため、 透過や反射による位相の変化はないものとする。 鏡の動きは光速と比較してじゅうぶ
んに遅く、 入射する光と反射する光の波長は変化しないとする。 以下の問に答えよ。
(イ) 点Dで光が強め合う条件を,L,X,Y, 入および整数mより必要なものを用いて表せ。
(ロ) 鏡2をY = 0 の位置で固定したまま鏡1を X = 0 の位置から軸上を正の向きに距離 α
だけ動かした。 鏡1を動かしている間に点Dで光の干渉を観測したところ、 弱め合いが N回
観測され、移動後は,ちょうど強め合っていた。 ① を L, N, 入より必要なものを用いて表せ。
重力波によって空間の伸び縮みが生じると, x,y 軸方向の光路が時間に依存して変化する。 そ
こで鏡1と2が微小な単振動をするモデルを考え, X(t) = Acos (wt), Y (t)= Acos (wt+Φ)
と表す。 ただし, A > 0, w ①,0≦2とする。 ここでは重力波のやってくる方向に
よって決まる定数である。
(ハ) 光路差が時間によらず0となるとき, 重力波は検出できない。 このときの中の値を答えよ。
(-) 光路差の大きさをf(Φ) sinwt +
t + 2/2) | の形に表すと、f(Φ) = K sin0 となる。 ただし, K
はによらない正の定数である。 K と 0 を、 それぞれL, 入, A, Φより必要なものを用いて表せ。
(ホ) さまざまなの値に対するf(Φ) の最大値をL,入, A より必要なものを用いて表せ。
(へ) A = 1 x 10-21L, X = 1 × 10-6mのとき, 問 (ホ)の光路差の最大値をレーザー光の波長 入
の 4 x 10-10倍にするには, Lを何km にする必要があるか。 有効数字1桁で答えよ。
実際の重力波干渉計では、図のような装置にさらに鏡を追加してレーザー光を往復させ、 実効
的な光路長を長くする。そのため、実際の装置の大きさは,問(へ)のLの値より小さい。 201
w710-al
532
9 X
3275
6
IT レーザー光源
200 #31
37
エイ
37
L+Y
[D
鏡 2
ビームスプリッター
鏡1
= Bª
L+X
光検出器
Acasat sma -A sinut eard + Ato sulle
Ksmo smot cov? + covul sm
f
v/ - In
4.
JA
27-

NA
3 解答 (1) 2(x-y)=ma (ロ) 17 (1) 0
$
(二) K:4A 0: (木) 4A (ヘ) 1×102km
2
解説 《光の干渉≫
(イ)光路 AOBODと光路 AOCODの光路長の差は
2(L+X)-2(L+Y)=2(X-Y)
反射等による位相の変化がないので、光が強め合う条件は
2 (X-Y) =m入...... ①
(ロ) X=Y=0のとき,光は強め合っており、①式のmはm=0である。
X = q のときの強め合いは、問題文の条件から,①式のm=Nに対応し
ている。したがって
2(a-0)=Nλ :. a=
Nλ
2
(ハ) 光路差が0であるので
0=2{X(t)-Y(t)}
=2{Acoswt-Acos (wt+Φ)}
-4A sin wt+
in(wt+2)sin(-2)
=4Asin (wt+ 2 ) sin /
2
これがtによらず成立するためにはsin 1/2 = 0.つまりΦ=0 でなければ
ならない。
(二) 設問(ハ)の結果より
光路差の大きさ 44 sin (aut+ / sin 1/2 |
-44 sin sin(at+)|
=4A
2
これよりf(ゆ) = 44 sin / なので

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

単なる和積公式です。

ますっぺ

ほんとだ、ありがとうございます。