Question

あ

高校受験の過去問数学の問題と答えです。
（１）と（２）②の解き方がわからないので、解説してほしいです。
よろしくお願いします。

3 右の図1のように、コンピュータの画面に、線分
AB を直径とする半円が表示されている。 2点P、Q
は点A、P、Q、Bの順に並ぶように弧AB上を
動かすことができる。 点Aと点P、点Pと点Q、
点Qと点Bを線分で結ぶ。
このとき、次の (1) (2) の問いに答えなさい。
図2
(1) 太郎さんは、 弧 PQ の長さが一定となるように点P、Qを動かすとき､ APQの大きさ
と
下の図2のように、弧 PQ の長さが弧ABの長さの1/12 であるとき、∠APQの大きさと
∠BQP の大きさの和を求めなさい。
の大きさの和が一定であることに気がついた。
BQP
P
A
B
B

下の図4は、弧 AP の長さと弧 PQ の長さが等しくなるように、点P、Qを動かしたもの
である。 AB=5cm、BP = 4cm、 PQ= 3cmのとき、線分PR の長さを求めなさい。
図 4
A
P
R
Q
B

3 (1) 225°
(2) a... b* c... I

2
9
4
cm

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

yuta

(1)
AQを結ぶ。
三角形ABQは円の直径を一辺として残りの頂点がその円の円周上にある三角形なので、角AQB=90度。
したがって残りの角ABQ、BAQの和も90度･･･①
弧PQの長さが弧ABの半分ということは、円の中心をOとすると扇形OPQの中心角、角POQ=90度。
したがって円周角の定理より、角PAQ=45度･･･②
①、②より角PABと角ABQの和が135度なので、
答えの角APQと角PQBの和は四角形の内角の和である360度から135度を引いた225度です。
(2)
弧AP=PQより、弧APとPQの円周角は等しくなる。･･･③

三角形ARBと三角形PQBにおいて、
③より角ABR(弧APの円周角)=角PBQ(弧PQの円周角)となる
また、角BARと角BPQは共に弧QBの円周角なので等しい。
よって二つの角がそれぞれ等しいので、三角形ARBと三角形PQBは相似。
PB:AB=4:5より、PQ:AR=4:5
PQ=3cmなのでAR=(4分の15)cm

また、三角形ARBとPRQで
同様にして
角ABR=角PQR(共に弧APの円周角)
角BAR=角QPR(共に弧QBの円周角)
よって三角形ARBとPQRは相似
PQ:AB=3:5より、PR:AR=3:5
AR=(4分の15)cmよりPR=(4分の9)cm

こんな感じですかね！わからないところあれば気軽に言ってください！この問題は円周角みたいな円の性質と相似を組み合わせた問題ですね。一個一個の作業は難しくないので、こういう問題が来た時はまず「長さの分かってる辺を含む三角形の掃除を探す→長さ求めてみる」をやってみるといいです！あとは問題文の(1)
だと弧PQは弧ABの半分、みたいな情報はわざわざ問題文に書いたということはどこかで使う、と考えてこれを使うには･･･四分円、直角、円周角の定理、みたいな感じで思考を広げていくとヒントになります！(2)も弧AP=PQということは弧APの円周角と弧PQの円周角は同じか･･･ということは円周角の定理を使いながら二つの角の大きさを合わせる合同の証明をやる感じかな？というような予想が立てられて大きなヒントになるので是非、問題文にわざわざ書いてある情報の意図を探るみたいなやり方を行き詰まったらやってみてください！すごい長くなってしまいました、すみません〜

あ

ありがとうございます。
助かりました！