ofにはたくさん用途がありますが、1つの用法として「このくらい(量)の○○(名詞)」と言う使い方があります。
例)a glass of Water カップ一杯(量)の水(名詞)
ten kilos of apples 10キロ(量)のりんご(名詞)
なので、ofをつけるかつけないかって感じです。
I eat a lot ならたくさん食べる(食べるを修飾する副詞的用法)になるし、
I eat a lot of apples ならたくさんのりんごを食べる(りんごの量を表す形容詞的用法)になる。
何が多いことを表すか で使い分けしてください
たくさん旅に行く ってことをいいたいとして、
旅にたくさん行く(行くのが多い)ことを表すならたくさんは副詞なのでI go on trips a lot
たくさんの旅にいく(旅の数が多い)ことを表すならたくさんは形容詞なのでI go on a lot of trips