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whatは「①先行詞を含んだ②関係代名詞」というやつで、次の①②の特徴があります。
①先行詞を含んだ、ということは
直前に先行詞(つまり名詞)が欠けているはずです。
かつ
②関係代名詞なので、
whatは後ろの関係詞節のなかで名詞の働きもしている
なので、関係詞節は名詞(主語目的語補語のいずれか)が欠けた不完全な文になります。
今回は①②の文法的な特徴がどちらも成り立たないのでwhatが入ることはありえません。
whoseの場合は、whoseが所有格なので
whose brotherとかwhose penとかなんでもいいけど、whoseの後ろに名詞が来ないといけないです。
His brotherとかHer penとかっていうときのhisやherは所有格ですよね。I-my-me-mineって覚えたりするやつの2つめのやつです。
whoseもそれと同じでwho-whose-whom-ってなってるんです。だからうしろにmyとかhisとかherと同じで直後に名詞が来るはずです。
今回は来ていないのでwhoseだとおかしいです。
ちなみに答えの③は同格の接続詞のthatです。