Question

Rina

数Ⅲ　定積分
答えは√2/2log(1+√2)です。
sin置換するのは分かるのですが、計算がどうしても合いません。計算過程も含めて教えていただきたいです！

匹2
S
COS X
2
2 - sin² x
dx

数ⅲ 定積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

exod

sinx=t
cosxdx=dt
x 0→π/2
t 0→1

∫[0→1]dt/(2-t^2)
=∫[0→1]1/2‪√‬2・(1/(‪√‬2-t) +1/(‪√‬2+t)) dt
=1/2‪√‬2[-ln|‪√‬2-t|+ln|‪√‬2+t|](0→1)
=1/2‪√‬2[ln|(‪√‬2+t)/(‪√‬2-t)|](0→1)
=1/2‪√‬2 ln|(‪√‬2+1)/(‪√‬2-1)|
= 1/2‪√‬2 ln(‪√‬2+1)^2
=1/‪√‬2 ln(‪√‬2+1)
=‪√‬2/2 ln(‪√‬2+1)

です。