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匿名

請問環狀塗色公式的詳細講解

00:57
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anders
记k(k ≥ 2)种不同颜色对n(n≥2)个区域涂色,每一区域涂一种,且相邻区域不能
同样颜色,则不同的涂色方法有 a 种。
先涂区域 4 有k种;再涂区域 4,,不能与区域 4 相同,有k-1种;再涂区域 4,不
能与区域 4, 相同,有k-1种……再涂区域,不能与区域 相同,有k-1种。共有
k(k-1)^种,但是这种情况包括区域4与区域 4, 相同与不同两种情况。区域 4 与区域 4
相同的情况可以看做区域 4 与区域 4 合为一个区域,即为k种不同颜色涂n-1个区域,
为a,所以a + a = k(k-1)"),(n≥ 2)。
所以a, = -an-x + k(k-1)'-', (n≥2)。
①X
於是,我們得到一個環形區域塗色的公式:
数学风景
头条号/数学风景
利用待定系数法,令 a +x(k-1)" = [anes + x(k-1)*1]
a = [ames + x(k-1)'-']-x(k-1)" =-an-xk(k-1)=-an-x+k(k-1)*1
所以x=-1。
构造新数列,令 b =a-(k-1)", (n≥2)
则{6}是从第二项起,公比为-1的等比数列,且b = a-(k-1)=k-1,
b = ax-(k-1)" =(-1)--(k-1)=(-1)*(k-1)
所以 a = (k-1)" +(-1)*(k-1),(n≥ 2)
数学风景
头条号/数学以费
记k(k ≥ 2)种不同颜色对n(n≥2)个区域涂色,每一区域涂一种,且相邻区域不能涂
同样颜色,则不同的涂色方法有 a = (k
(-1)*(k-1)种。
f
LINE

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

首先分析：圖一的情況(要求的東西，注意A₁≠Aₙ)
等於 圖二的情況(A₁=Aₙ或A₁≠Aₙ都可以)
減掉 圖三的情況(A₁=Aₙ，等同於將兩區域合併)

圖一的情況有aₙ種、圖三的情況有aₙ₋₁種
而圖二的情況有k(k-1)ⁿ⁻¹種
所以得到遞迴關係式：aₙ=k(k-1)ⁿ⁻¹-aₙ₋₁
aₙ+aₙ₋₁=k(k-1)ⁿ⁻¹

我們想要把aₙ₋₁消掉，所以我們將n到1全部(交錯)列出來
aₙ+aₙ₋₁=k(k-1)ⁿ⁻¹
-aₙ₋₁-aₙ₋₂=-k(k-1)ⁿ⁻²
aₙ₋₂+aₙ₋₃=k(k-1)ⁿ⁻³
-aₙ₋₃-aₙ₋₄=-k(k-1)ⁿ⁻⁴
⋮
(-1)ⁿ⁻¹(a₃+a₂)=(-2)ⁿ⁻¹k(k-1)²
(-1)ⁿ(a₂)=(-1)ⁿk(k-1)¹

(注意到n=2時，圖一與圖二的情況數量相同，
因為A₁和A₂在下方相連，即使上方切斷，仍然保持A₁≠A₂)

全部加起來得到
aₙ=
k(k-1)ⁿ⁻¹-k(k-1)ⁿ⁻²+k(k-1)ⁿ⁻³-k(k-1)ⁿ⁻⁴+⋯+(-1)ⁿk(k-1)¹
這是一個等比級數
首項為k(k-1)ⁿ⁻¹，公比為-1/(k-1)，項數為n-1
(計算如圖四)
aₙ=(k-1)ⁿ+(-1)ⁿ(k-1)

匿名

我想詢問的是用代訂係數法構成的原理

匿名

他算出x=-1跟 bn有什麼關系，而且bn又是代表什麼

qn

先看一個比較簡單的例子：
a₁=1, aₙ=2aₙ₋₁+1
我們希望讓它變成
aₙ+x=2(aₙ₋₁+x)
的形式，如此bₙ=aₙ+x就是等比數列
解 aₙ=2aₙ₋₁+x 得 x=1

b₁=a₁+1=2, bₙ=2bₙ₋₁
→bₙ=2ⁿ
→aₙ=2ⁿ-1

qn

對於 aₙ=paₙ₋₁+q 我們可以令x滿足
aₙ+x=p[aₙ₋₁+x]
如此，bₙ=aₙ+x就是公比為p的等比數列
利用q對照係數就可以求出x

這麼做的原因是，等比數列的遞迴式
可以很輕鬆的轉換成一般式

匿名

b₁=a₁+1=2,
（bₙ=2bₙ₋₁
→bₙ=2ⁿ
→aₙ=2ⁿ-1）（）裡的數怎麼還得，是你假設的嗎

qn

把bₙ=aₙ+1代回aₙ+1=2(aₙ₋₁+1)
→bₙ=2bₙ₋₁
首項=2, 公比=2
→ bₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ
→ aₙ=bₙ-1=2ⁿ-1

匿名

bn=an+x就是公比為p的等比數列 利用q對照係數就可以求出x 這個怎麼知道的