Question

ユ

印をつけたところの意味がよくわかりません！教えてください

516 第8章 図形の性質
例題252 回転体の体積
1辺の長さが24の正四面体 A-BCD を, 辺ABを軸
として1回転させるとき, △ACD が通過する部分の体
積を求めよ.
考え方 △ACD がABを軸として回転するとどうなるかのイメージ
がつかみにくい場合は, ACD を部分的に見てみる.たとえ
ば,辺 AC が ABを軸として回転するとどうなるだろうか.
さらに、 辺CDの中点をNとしたとき, AN が ABを軸とし
て回転するとどうなるか. このように,具体的に考えてみる。
B
A
C
A
AB⊥CM
AB⊥ DM
議酸よって, AB⊥平面 MCD となり,
ABCD
8
N
解答 ABの中点をMとすると, △ABCと△ABD は正三角
形より,
B
APOKAE
したがって, CD 上の任意の点PとAとを結んだ線分 AP
を,ABを軸として1回転させると, Aを頂点とする円錐
の側面になる.
また, △ABC,△ABD は合同な正三角形より, AMCD
はMC=MD の二等辺三角形であるから, CDの中点をN
とすると,点Mと辺CD 上の点を結ぶ線分で最も長いもの
は MD (MC) , 最も短いものはMN である.
取り
SA
RAKES 0040UNON
19TE
****
B
正四面体であることを考えると,辺AD がAB を軸にして回転すると辺 AC の場合と
AB & CC
同じになる
このように考えると, △ACD の動く範囲が見えてくる.
ここで,上の図のように, CからABに垂線を引いたときの AB との交点とNから
ABに垂線を引いたときの交点は一致することを利用する.
A
N
A
D
* TOBA DA
D
N
AT&SHOWI
平面 MCD は回転軸
垂直な平面である.
点PがCDの中点
になるとき, 考え方
のNの場合になる.
ras

次に, MCDをABを軸として1回
転させると, MD, MN は右図のようにM
を中心とする同心円を描き, 辺CDの通
過領域はその2円によって囲まれた部分
である.
つまり, ABを軸とする △ACDの回
転体は, 半径 MC (MD) の円を底面とす
る高さ AM の円錐(V」 とする) から, 半径 MN の円を底面
とする高さ AM の円錐(V, とする) を除いたものである。
(1) 円錐 V1の体積を求める。
△AMD は ∠MAD = 60°の
直角三角形より,
MAJ
/60°
MD=AD sin <MAD √3a
√2a
(8-) AD
Focus
=2asin60°
1-√3 a
よって,
( V1 の体積)
- XTX MD²XAM
3
(ii) 円錐 V2 の体積を求める .
200 BMN CD より,
a
MN²=MD²-DN²
¹)=(√√3 a)²-a²
C
----
D-8A=AC
=××(√³)²³×a=πα²³ AREA
(四)四
立
Calyp=2a²
よって (V2の体積) = 1/23 × ×MN × AM
=-
Contato
123
(i), (ii)から, △ACD が通過する部分の体積は,
20
(V」の体積)-(Vュの体積)=xq212
SAMOC
2a
-a
NOD
Xxx2a²xa=2na
4 空間図形 517
MD²=AD2-AM²
= 3a²
H
CDとしてもよい。
STAR=AUSMAA
S
回転体の概形や体積は、 回転軸に垂直な断面図を利用して考える
第8