回答

①appleにsが付いてるので動詞にsはいらないかと。→ 英文法を誤解しています。
My mother(主語・3人称・単数)が主語だから、like(動詞)にs(3単現のs)を付けています。apples(目的語・名詞・複数)とは関係ありません。
英文の構造は、 My mother(S) likes(V) apples(O). となり、第3文型です。
②動詞にsで複数形は分かってます。→ 何が複数形なのですか?主語が複数形ですか?目的語が複数形ですか?あるいは、それ以外が?
③主語以外の名詞につけたら2重複数形になりますよね → 主語以外の名詞にsを付けたら、2重複数形になるということでしょうか?
まず、「2重複数形」という用語を聞いたことがありませんが、何を意味するのでしょうか?

例文[1][2][3]は、なぜ動詞にsをつけるのか?を説明している、中学1年生の英語の例文です。
ポイントは、主語の人称、単数と現在時制です。いわゆる「3単現のs」の説明です。
以下のような理解で十分だと思います。
[1] My mother(主語・単数・3人称) likes(動詞likeの現在形) apples(目的語・名詞・複数). <第3文型> 
[2] She(主語・単数・3人称) often(副詞) eats(動詞eatの現在形) apples(目的語・名詞・複数). <第3文型> 
[3] The sun(主語・単数・3人称) rises(動詞riseの現在形) (in the east)(修飾語句). <第1文型>

何かわからないこと、あるいは質問等があれば、是非お知らせください。

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