✨ ベストアンサー ✨
would you like とwould you like to は、前者が、〜が好きか？聞いていて、後者が〜したいか？聞いています。どちらも控えめな表現です。
can I とmay I は、どちらも許可を求めていますが、出来るけどしていい、という気分を入れたいなら、can I がいいかなと。ネイティブに聞いたらおそらくどっちも変わらないと言う方が多いと思います。
でも、出来る状況でもないのに言われたら、オイオイと思われるでしょう。
shall I は、〜しましょうか？と勧めています。そうした方がいい気分が入るでしょう。
これはあくまでも文法的な解釈です。
辞書、またドラマでたくさん、実際の使われ方、比較してみて下さい。
ありがとうございます!