Question

志葉

（1）のAR:RDは1:1なのですが、なぜなのかわかりません。また（2）と（3）の求め方も教えてください。お願いします

4
右の図のような, AB=AC=AD=AE=4,
底面が1辺2の正方形である正四角錐がある。
辺AC, AE を 2:1に内分する点をそれぞれP,
Qとする｡
3点 B, P, Qを通る平面でこの四角錐を切断
するとき この切断面と辺ADとの交点をRとする。
(1) AR: RD を求めよ。
(2) 切断して2つに分けた立体のうち, 点Aを含む
立体の体積を求めよ。
(3) 切断面BPRQ の面積を求めよ。
B
A
P
C
★★★☆☆
R

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
BRとQPとの交点をSとする。BDとCEの交点をHとする。
BRをR側に延長し、AからBDに平行に線を引き、交点をFとする。
AS：SH＝AP：PCより、AS：SH＝2：1だから
AF：BH＝2：1
BD＝BH×2から、AF：BD＝AR：RD＝2：2＝1：1

きらうる

(1)の画像

志葉

ありがとうございます。（1）はわかりました。
（2）と（3）の解き方も教えて貰えますか？
お願いします

きらうる

点Aを含む図形を、△AQPで右側と左側に分けます。

三角錐B-AQPは△AQPを底面とすると高さがBHになる。
AP：AC＝2：3から、△AQP：△AEC＝2²：3²＝4：9
EC＝2√2、AH²＝AE²-EH²＝4²-(√2)²＝14　→　AH＝√14
△AEC＝1/2×√14×2√2＝2√7
△AQP＝2√7×4/9＝8√7/9
三角錐B-AQP＝1/3×8√7/9×√2＝8√14/27

三角錐R-AQPは、底面を△AQPとすると、高さがAR：RD＝1：1から、三角錐B-AQPの半分になるので、
三角錐R-AQP＝8√14/27×1/2＝4√14/27

よって、立体の体積は4√14/9

答え合ってますかね。

志葉

ありがとうございます！！
（3）もお願いします

きらうる

(3)
Rから底面に垂線を引き、底面との交点をGとする。
AR：RD＝1：1だから、HG：GDも1：1なので、
BD＝2√2から、HG＝√2/2
同様に、RG＝AH×1/2だから、RG＝√14/2
よって、RB²＝BG²+RG²より
RB²＝(√14/2)²+(3√2/2)²
RB＝2√2

AP：AC＝2：3から、PQ＝CE×2/3より、
PQ＝4√2/3

RBとPQは垂直に交わっているので、
□BPRQ＝BR×PQ×1/2
　＝2√2×(4√2/3)×1/2
　＝8/3

志葉

ありがとうございます！！