Question

おうじゃP

(エ)で「転倒し始める時はT'＝0、あるいはN'＝0」とあってT'＝0としてるんですけど(カ)のT''って0じゃないのですか？

(出典:難問題の系統とその解き方)

例題1
剛体のつりあい ①
次の文中の
] に適する数値(負でない整数) をそれぞれ記入せよ。
図のように、直方体の一様な物体Aが,
水平と45°の傾斜をもつ地盤Bの上に、質
量の無視できるロープCによって取りつ
けられた構造物がある。物体Aと地盤B
とは、接触しているだけである。
物体Aの質量:m=1.0×10° 〔kg〕, 重力
加速度の大きさ:g=10[m/s²], 物体Aと地盤Bとの間の静止摩擦係
数および動摩擦係数:μ=1/3, 2の値:1.4とし,ロープCは十分強く,
伸び縮みしないものとする。
(1) 静止しているとき, ロープCの張力は (ア)[
盤Bが物体Aに作用する抗力の大きさは (イ)
× 10°Nであり、地
× 10°Nである。
(2) 地震によって,次第に強くなる上下動(鉛直方向の動き)が起こ
り,ある加速度が物体Aにはたらいたら,物体Aが転倒(物体Aが
地盤Bに対して,すべり・離れなどの動きを起こし、回転して倒れ
る状態)を起こし始めた。 その加速度の大きさは (ウ) m/s' であ
り,ロープCの張力は (エ)[ × 10°Nである。
(3) 地震によって、次第に強くなる水平動が起こり、ある加速度が
物体Aにはたらいたら, 物体Aが転倒 ((2)参照)を起こし始めた。
その加速度の大きさは (オ)
m/s' であり, ロープCの張力は (カ)
×10°Nである。
〔東京理科大・改]
考え方の
キホン
y
A
hor
4m
45°
+ 2m.
C
B
力学において最も重要なことは、力を正しく見つけることである。
そして力がわかれば,それらを互いに垂直な方向に分解し、力のつ
りあいの式を2つつくる。次に,適当な点のまわりの力のモーメントのつりあい
この式をつくる。 あとは, 以上の3つの連立方程式を解くだけである。なお, 静止
摩擦力はつねに最大静止摩擦力が働いているとは限らないので, はじめからその
値をμN とおいてはいけない。 まず, 未知数として文字で表し (例えばF), つ
りあいの式を解いて F の値を求めてから, FUN の条件を課せばよい。 また,
力のモーメントのつりあいの式は, 任意の点のまわりのモーメントで考えてよい
が,なるべく計算が簡単になるような点を選べばよい。 すなわち、ある力の作用
線上の点を
ントになるので計算が楽である。
水平面
カ学
2
3 波動

Chapter 1
力学
Section 1
力と運動
18
1
I
I
1
1
1
1
I
I
1
解答
(ア) 求める張力をT, 地盤B から受ける垂直抗力をN, 静止摩擦力をF
とすると, 物体Aが受ける力は次のようになる。 力のつりあいの式は、
水平:T+Fcos 45°-N sin 45°= 0
鉛直:Fsin45° + N cos 45°-mg = 0
また、右図のP点のまわりの力のモーメントのつりあいの式は
3
mgx2-Tx2 = 0 ............
③より, T=mg=10×10°〔N〕
(イ) 一般に,垂直抗力と摩擦力の合力を抗力
という。よって、その大きさをRとすると,
mg
R=√N°+F°である。①~③より普通に計算
N =√2mg=14×10,
F=0
よって物体Aに働く力のつりあいの式は
①
************ (2)
A (G),
転倒し始めるときは, T' = 0 あるいは, N' = 0 である。
a=g=10(m/s²)
④~⑥より
T" =
(Q)
=(2g+B),
N
:: R= √N² +F²=N=14×10³(N)
(ウ) 鉛直下向きに大きさαの加速度とすると,地盤Bから見て、物体A
の重心Gに鉛直向きの慣性力maが働くので、見かけの重力加速度を
g'とすると,mg' = mg - ma だから, g' = g-αとなる。 したがって、
(1) で のかわりに g'として
T' = mg' =m(g-α), N' =√2mg'=√2m (g-α),
N"=
45°
√2m
4
R
(エ) (ウ)より, T'=0×10°〔N〕
〔注〕 鉛直上向きの加速度なら, T'やN'は0になることはない。
-(4g-β),
B
(オ)例えば,水平右向きの加速度をβとすると, G には水平左向きの慣性
カmβが働く。
水平:T" + F" cos 45°N" sin 45°-mβ=0
鉛直: F" sin45°+N"cos 45°-mg = 0
また、P点のまわりの力のモーメントのつりあいの式は,
mg×2+mβ×1-T" ×2=0
(P)
T
F' = 0
p" = √2 mp
F"
4
(カ)T"=
T"=0より、B=2g
N"=0より、B=4g
さらに, F" μN"より､
√2mB 1 √2m
X
4
4 3
⑦~⑨より、
MEMO
mg-mo
1.0×10³
2
mg
解説
“平行でない3つの力が働いて剛体がつりあうとき, その3つの力の作用線は
必ず1点で交わる” という定理がある。 このことを前ページの図に即して説明
しておく。 すなわち, mg と T′の作用線はQ点で交わる。 したがって, Q点の
まわりの力のモーメントの和が0であるためには, Q点のまわりのRのモー
メントも0でなければならない。 よって, Rの作用線もQ点を通ることがわかる。
Rの作用線がQ点を通るためには, R = N, F = 0でなければならない。
なお,(ウ)で用いたように,重力と慣性力との合力を見かけの重力 mg'と置
く発想は,物理的に有効な発想であり、以後たびたび登場するであろう。
mo
-(4g-B)
B>g=10(m/s']
450
.B>g=10
8
x (2×10+10)=15×10°〔N〕
①
N
450
NXO=0
距離が
F=0 なので実質Nの作用系泉が
Qを通る。
1-1 力と運動
カ学
19

物理 力学