Whoは主語になれるからですね。なぜwho did～ではダメかは下で少し詳しく説明しておきます。
もう1つの質問の解答として、英語は同じことを何度も言わない言語なので、一々Kate went to the park.とは言わず、went to the parkをdidに変えてしまうんですね。また、wentではなくgoの場合ならdoになります。（ちなみにdoを代動詞という。代名詞と似たようなものです。）
あと、doやdidは必ずしも疑問文でしか使わないというわけではありません。
そもそも、Do you like soccer？-Yes, I do.というのもdoがlike soccerを言い換えたものです。
少し難しい話をします。
英語の疑問詞を実は、2種類に分けられます。1つ目が疑問副詞、いわゆるwhenとかwhereみたいなのです。2つ目が疑問代名詞、who, what, whichの3つです。
この2つの違いを理解するには疑問詞を使った疑問文の成り立ちを考える必要があります。
例えば、Kate went to the park.という文を使って考えます。
Kateがどこに行ったかを聞きたい場合は、Where did Kate go？ですよね。
この文を元の文に直すには、didを消して、whereをto the parkに直します。
to the parkとは、副詞のまとまりですから、whereは疑問副詞と言われるのです。whenも同様です。
ですが、who,what,which（whichはあんま気にしなくてもいいかも）は違います。
Kate went to the park.の主語は当然Kateです。
誰が公園に行ったかを聞きたい場合は、KateをWhoに直せばいいのですが、Whereの時とは異なり、主語が疑問詞に変わってしまうので、疑問文の基本的な語順である、「動詞+主語」という語順に直せません。
これを無理やり変えようと、Did who～なんて風にしたら意味わかんないですよね。
このように、誰がしたかを聞きたい場合はwhoが文頭にきて主語として扱います。
ちなみに、who did～を用いる文章は普通にあります。
例えば、Who did you go to the park with？とかです。元の文はYou go to the park with her.とすると、herがwhoに変わってますね。
