きちっと考えるために理屈っぽく説明するので
かえって混乱させたらごめんなさい。
itsはitの所有格（I→my・You→your）ですから、
「それの」ということです。
「それ」とは？となりますが、
①itやその複数形のthey（それら）
②this/thatとかthese/those
この2種類の指示語には違いがあって
①は既に出てきた「名詞」を受けます。
②は既に出てきた「内容」を受けます。
つまり
②は、受けている部分が、名詞とかじゃなくて、一文とか一段落全体であったとしても
その内容を受けることができるってことです。
逆に①は名詞だけですから、わかりやすいですね。
今回のitsの場合、この前の部分で単数の名詞は2つあります。
The convenience store とa delivery service
です。このどちらかです。
で、どっちなのか特定させるために
さらに理屈っぽく考えてみます。
its bond with peopleの部分は
bondは名詞で、
直訳すると
「それの、人々との結びつき」となります。
bondは「きずな」とかでも良いです。
この名詞のフレーズの背景には
it bonds with people（このbondは動詞）
「それが、人々と結びつく」
という文があると思ってください。
この文を名詞のフレーズに直しているんです。
もう少し前の部分から見てみると
a delivery service to strengthen its bond with people
「"それの"人々との結びつき を強めるための、配送サービス」とあります。
これも要は
「配送サービス が "それの"人々との結びつき を強める」ということですよね。
to 不定詞が直前の名詞を修飾する形じゃなくて
文の形に直してやればそうなります。
もしits「それの」が、a delivery serviceだったとすると
配送サービスが、配送サービスの人々との結びつき を強める
と言っていることが二重になりますよね。
itsがThe convenience store だとすれば、
配送サービスが、
コンビニの、人々との結びつき
を強める
と言っているので、おかしくないです。
The convenience store came up with the idea of a delivery service
そのコンビニ(の店員ってことですかね)は、
配送サービスの考えを思いついた。
to strengthen its bond with people in this part of town.
自分たち（=そのコンビニ）とこの地域の人々との結びつきを深めるための（or ために）
後半のto strengthen〜townのまとまりは
to不定詞の形容詞的用法 だと
最初、自分は解釈しました。
その場合、先にも少し触れましたが
a delivery serviceという名詞を
to strengthen〜以下が後ろから修飾している
ということになります。
ただ今回の場合は、
to不定詞の副詞的用法と解釈してもおかしくありません。というかどちらか特定できません。
その場合は訳にもある通り、目的の意味で
「〜ために」と訳せば良いです。