1. 直式乘法
被乘數先寫6、乘數寫4
每乘一位就抄到被乘數
直到乘積的首位數是6
最後得到 153846×4=615384
2. 要有2組才行
若能表示0~350之間的所有整數
再搭配平衡錘即可表示所有實數
(證明不同三進制組合所表示的數皆不同) 反證：
設有 x = a₅×3⁵+a₄×3⁴+a₃×3³+a₂×3²+a₁×3¹+a₀×3⁰
y = b₅×3⁵+b₄×3⁴+b₃×3³+b₂×3²+b₁×3¹+b₀×3⁰
其中 a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀, b₅, b₄, b₃, b₂, b₁, b₀ ∈ {0,1,2}
滿足 x=y 但 (a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀)≠(b₅, b₄, b₃, b₂, b₁, b₀)
則x-y=
(a₅-b₅)3⁵+(a₄-b₄)3⁴+(a₃-b₃)3³+(a₂-b₂)3²+(a₁-b₁)3¹+(a₀-b₀)=0
若 a₀≠b₀
則 3[(a₅-b₅)3⁴+(a₄-b₄)3³+(a₃-b₃)3²+(a₂-b₂)3+(a₁-b₁)]=b₀-a₀
但 b₀-a₀ 不為3的倍數 (矛盾) 故a₀=b₀
若 a₁≠b₁
則 3²[(a₅-b₅)3³+(a₄-b₄)3²+(a₃-b₃)3+(a₂-b₂)]=3(b₁-a₁)
但 b₁-a₁ 不為3的倍數 (矛盾) 故a₁=b₁
同理 a₂=b₂ , a₃=b₃ , a₄=b₄ , a₅=b₅
但 (a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀)≠(b₅, b₄, b₃, b₂, b₁, b₀) 矛盾
故對於 (a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀)≠(b₅, b₄, b₃, b₂, b₁, b₀) x必不等於y
因此 (a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀) 共有 3⁶=729 種組合
且每種組合所表示的數字x
皆滿足 0×1+0×3+⋯+0×3⁵≤x≤2×1+2×3+⋯+2×3⁵
即 0≤x≤728
故可用兩組砝碼表示0~350(可到728)的所有整數
🤔喔~那其實可以看成-1、0、1的調和三進位
只要把上面的證明改成-1、0、1
-364≤x≤364
2.
若將物體放在左邊天平平衡時為
物體重量+左邊的砝碼=右邊的砝碼
所以 物體重量=右邊的砝碼-左邊的砝碼
有砝碼1,3時，可以表示0到4
1 , 2=3-1 , 3 , 4=3+1
有砝碼1,3,3²時，可以表示0~13
0~4用1和3的砝碼
5~9=9-(4~0)
9~13=9+(0~4)
有砝碼1,3,3²,3³時，可以表示
0~13用1,3,3²的砝碼
14~27=27-(13~0)
27~40=27+(0~13)
以此類推
由於1+3+3²+...+3^(n-1)=(3^n -1)/2
因此1,3,3²...,3^n的砝碼
可以秤出0~1+3+3²+...+3^n的重量
所以這個天平其實能秤0~364的重量