Question

ますっぺ

この問題の（5）が全く分かりません。
教えてくださると助かります。

出題パターン
右図のように, 質量 2mmの小さ
なおもりA,Bがばね定数んのばねで
結ばれて水平でなめらかな床の上に静止
している。
2m
時刻 t=0 に, A のみに初速度 (右向き正)を与えた。
(1) A,B2物体全体の重心Gの速度vc を求めよ。
(2) G から見ると, A, B はそれぞれ単振動しているように見える。その単
振動の周期 T, TB を求めよ。
(3) ばねがはじめて最大に伸びるときの時刻 t = を求めよ。
(4) t = t1 のときのばねの最大の伸びを求めよ。 Jatkus
(5) 時刻 t=t のときのAの床から見た速度をtの関数として求めよ。
ma
32 重心速度と単振動
A
V
ib
k
=B
2
m

解法
(1) 図9-15のように,重心の位置は,A,Bを
質量の逆比に内分した点Gにある。 そして,
その重心速度 vc は 「解答のポイント」より,
UG
全運動量
VG = 全質量
2mv+m0 2
=
2m+m
(2)いま,A,B 全体に着目すると外力 A
は働かないので, 「解答のポイント」
で見たように重心Gは一定速度 vc で
動く(図 9-16)。このとき大地から見
A,Bそれぞれの動きは図9-16の
ように「グニャグニャ」ととても複雑
になってしまう。
そこで, A,Bの運動を,図9-17
のように重心G 上に乗って見る。
すると、固定された重心Gの左右
で, A がばねAG, B がばね GB によ
って,それぞれ独立に水平ばね振り子
運動しているように見える。
このときのばね AGの長さは全体のば
ねの長さの1/24 倍であるので,「解答のポ
3
イント」で見たようにばね定数k は逆
にその3倍の
k=kx-
=3k
1/3
同様に, ばね GB のばね定数 kB は,
kB = kx-
1
2/3=3³ k
2m
○
V
となる。
よって, A,Bの単振動の周期 TA, TB は,
2m
Th=2π√3k
15
G
COAST(複雑 5
AC
1
図9-15 t=0 での重心座標
A
UG
G
KA=3k
yeas
図9-16 床から見たA,Bの単振動
B
m
TE
固定
kB=-
3 k
0
2
図9-17 G上から見たA,Bの単振動
BOAadə a
B

Th=2π 3
-k
80 200
いることがわかる。 必ず TA = TB となることは覚えておいて損はない。他のう
となる。 ここでTA = TB なのでA,BはGの両側で同じタイミングで振動して
(3) 図9-18 のように, t=0 でばねが自然長の
状態から運動を始めて, t=tでばねがはじ
めて最も伸びたとすると, 図より (中) (折)
→(中)→(折)までの時間で,
t₁ =- x (周期 TA)
2m
m -= 2√3k
3
4
3m
= π√ 2k
2m
-X2л√ 3k
VVG =
6 = 21/1/00
v ( 0)
見るものの速度
となる。
2
V 2m
11/22m ( 130 ) ² = 1/23kd ². d = 3V 3k
t=0
t=t₁
よって、ばね全体の最大の伸びは,
d+2d=3d = vy
V
(4) 図 9-18 のように,t=tでばねが最も伸び」
たときの, ばねAGの伸びをdとすると,
そのときのばね GB の伸びは 2d となる(常に AG : GB = 1:2となるため)。
ここで, t=0のときのGから見たAの相対速度が,
Moto
(10
2m
3k
(5) G から見たAの相対速度 VAG は,図9-19 のグ
ラフを式にして
WARE
as
31-80
であることに注意して, G から見た AG間のみの力学的エネルギー保存則より
b
VAG
t=0
V
COS
3cos 2m
-t+
-t (: 2)
+ ²/1/00
ひ
3
OB
AG
2m 伸び 0 伸びom
3k
伸び d
HOL
1
V-VG= V
3
② G
co/e
3
0
図9-18
V
3 T
=1/3cos2/11=1/32COS 12m
2л V
3k
VAG =
-t=₁
TA
床から見たAの速度va は,これに重心Gの速度 us を上乗せして,
3k 2
VA=VAG+UG=
3
伸び 2d
S
t₁ TA
EV
図9-19
HA 7-1