あなたの回答では、
(x+2)(x+3)=k から、x=-2,x=-3としていますが、
k=0とは限らないので、ここの部分が誤りです。
判別式Dは、放物線とx軸との関係を表します。
また、二次方程式が解をいくつ持つかを表します。
D>0のとき、放物線はx軸と異なる2点で交わる
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(解は2つ)
D=0のとき、放物線はx軸と接する
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(解は1つ)
D<0のとき、放物線はx軸と共有点を持たない
⇅
(解なし)
今回求めたい条件は、放物線がx軸と接するという条件なので、先ほどの判別式の性質より、D=0です。
y=x^2+6x+5-kにおいて、y=0におけるxを調べますと、
x^2-6x+5-k=0
判別式Dは
D/4=9-(5-k)=0
9-5+k=0
k=-4
となります。万が一答えが間違っているようでしたら、ご指摘お願いします。