Question

豆

この問題を教えてください

ステップ3
□四角形 ABCD で, AB = AD, BC = DC とすると、対角線 AC は,
対角線BD を垂直に2等分します。 このことを証明しなさい。
A
B

Answer 1

lv0043

AB=AD ----(1)
BC=DC ----(2)
AC=AC ----(3)
(1)(2)(3)より3辺の長さが等しいので、△ ADC≡ △ ABC ----(4)

対角線ACと対角線BDの交点をMとすると、(4)より∠ DAM=∠ BAM ----(5)
AM=AM -----(6)
(1)(5)(6)より2辺とその間の角が等しいので、△ ADM≡ △ ABM ----(7)
(7)より∠ AMB=∠ AMDであり、BDは線分であることから∠ BMD=180°である。
すなわち、∠ AMB=∠ AMD=90°
また、BM=DM である。
∴ 対角線ACは、対角線BDを垂直に2等分する。

※ なるほど【二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する】という定理
を利用すれば、(7)を示すまでもないということですね。

Answer 2

mo1

参考・概略です。

(1)△ＡＢＣ≡△ＡＤＣを証明し

　　【3組の辺がそれぞれ等しい】

　　∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ　･･･　④

(2)二等辺三角形ＢＡＣで

　④よりＡＣは頂角∠ＢＡＣの二等分線なので

　定理【二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する】より

　　ＡＣは底辺ＢＤを垂直に二等分します

　つまり、対角線ＡＣは対角線ＢＤを垂直に二等分します