✖️Do you have cat？
Do you have a cat？
Do you have any cats？←anyは無くても良いです。
単数でも複数でも正解です。
質問してる人が単数で聞けば、０匹か飼っていても１匹だろうなと思って聞いてます。複数なのは、０匹、１匹、またはそれ以上の数を想像して聞いてるだけの違いです。猫は多頭飼いも有り得るので、どちらの聞き方も良く有ります。
なので猫では無く、例えば車とか家とか彼女とか常識的にあっても１つだなと思う物は、Do you have a car？ a house？ a girlfriend ？です。Do you have cars？でも正解ですが、なんかセレブだと思われてるか嫌味？って感じですね^ ^
逆にDo you have any questions ？
質問ある？に関しては、複数にするのが一般です。
a question ？でも勿論正解なのですが、質問ひとつある？って聞いてるので、質問の数なんでひとつだと思ってるのかなと感じます。
