✨ ベストアンサー ✨
中学の範囲で解くなら…
[x]はxを超えない最大の整数なので、
0≦x-[x]<1、このことから、0≦(x-[x])²<1…①
x-(x-[x])²=(20/9)
(x-[x])²=x-(20/9)
これを①に代入して、xの範囲の絞り込みをすると、
0≦x-(20/9)<1
(20/9)≦x<(29/9)
となるから、
(20/9)≦x<3のとき、[x]=2
3≦x<(29/9)のとき、[x]=3
の2パターンが考えられる。
[x]=2のとき
x-(x-2)²=(20/9)
これを解くと、x=(7/3),(8/3)
これらは、(20/9)≦x<3の範囲を満たす。
[x]=3のとき
x-(x-3)²=(20/9)
これを解くと、x=(21±√37)/6
これらは、3≦x<(29/9)を満たさないから不適。
従って、x=(7/3),(8/3)となる。
高校の範囲を使って良いなら…
x-(x-[x])²=(20/9)…①
xの整数部分をm、小数部分をn(0≦n<1)と置くと、x=m+n…②
①に②を代入すると、
m+n-(m+n-m)²=(20/9)
m=n²-n+(20/9)…③
このように、二次関数で表すことができ、これを平方完成すると、
m={n-(1/2)}²+(71/36)
となり、0≦n<1より、
n=(1/2)のとき、最小値(71/36)
n=0のとき、最大値(20/9)
(画像参照)。
よって、mの範囲は、(71/36)≦m≦(20/9)となるから、これを満たす整数mは2と分かる。
m=2を③に代入し二次方程式を解くと、n=(1/3),(2/3)。
m=2、n=(1/3),(2/3) を②に代入して、
x=(7/3),(8/3)となる。
わかりました！ありがとうございます🙇♀️🙇♀️