Question

まりも

1枚目の写真の物理の問題を、2枚目の青枠で囲まれた微分方程式を解く形で解きたいです。
解く過程を教えて下さい😭

次頁の図のように、 質量1kgの板Aをばね定数 5N/mの軽いばねで天井とつなぎ, 板Aを
運動させたときの様子について考える。 ただし, ばねは常に鉛直方向にまっすぐで, 板Aは常
に水平を保ったまま鉛直方向にのみ運動し, 運動中の板Aにはたらく力は「重力」 「ばねから
「受ける力」 「空気から受ける抗力」 の3種類のみとする。
ばねが自然長のときの板Aの位置を原点とする鉛直下向きのx軸を定める。 板Aを原点0
の位置で静止させた状態から静かにはなすと, 板 A は鉛直方向に運動を始める。 板Aをはなし
た時刻を 時刻t [s] における板Aの変位 (x軸上の座標) をx(t) [m]とする。
板Aが空気から受ける抵抗の大きさは板Aの速さに比例するものであり, 時刻t [s] に板 A
dx(t)
dt
が空気から受ける抗力は,x軸の向きを正として-2-
[N] と表されるものとする。 このと
き, 重力加速度の大きさを10m/s として, x(t) を求めよ。
0-
x (m)
天井
5 N/m
T
air mg
板 A

さいじ形
ma(t) =
5, XG) 2 2G)+(0
x (t)
x (t) + 2x²(x) + 5 (x(x) - 2) = 0
(1
X(X) + 2X (*) +5X(X) = 0
(~²
m² (t) = mg - ht (t) - fx (t)
X(X) = ²* {1}
特殊解について考えると
X(x) = ²
X(t) =
1 X (0) = -2
X (0) - O
X(0) - (0
^= -1 + 2 ²₁-1-

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲストあ

与式
⇔{(d/dt)-(-1+2i)}{(d/dt)-(-1-2i)}x=0
見やすいため(-1+2i)=α,(-1-2i)=βとおく。
{(d/dt)-α}x=y₁,{(d/dt)-β}x=y₂とすれば、
与式は二通りで書くことができ、
{(d/dt)-α}y₂=0⇔(dy₂/dt)-αy₂=0
{(d/dt)-β}y₁=0⇔(dy₁/dt)-βy₁=0
それぞれyのtについての1階線型斉次微分方程式を解いて、
y₁=C₁e^(-βt)
y₂=C₂e^(-αt)
yをxの式に直すと
y₁=(dx/dt)-αx= C₁e^(-βt)…①
y₂=(dx/dt)-βx= C₂e^(-αt)…②
α≠βよりα-β≠0だから①-②より
x=-{1/(α-β)}{C₁e^(-βt)-C₂e^(-αt)}
αとβの値を代入し、オイラーの公式で三角関数に直して定数部分を置き直せばあとは解けるのではないでしょうか。(スマホのキーボード打つのが意外に大変で…写真を見るにあとは分かりそうではないかと思ったので頑張ってください！最後投げてすみません)

まりも

遅くなって申し訳ありませんでした。
消さずに残して下さってありがとうございました。