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 biginは動作動詞なのでhas bigunにはしません。
 It has been bigining raining for two hoursだとしても、「2時間ずっと雨が降り始め続けている」となり、変です。
「2時間前に降り始めて、今もまだ降っている」なので、It is rainingを完了形にしたIt has been rainingが正解です。

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It began to rain two hours ago, and It is still raining.
訳:2時間前に雨が降り始め、まだ降り続けている。
雨が降り“始めた” だからbegan

It has been raining for two hours.
訳:雨が2時間降り続けている。
→It is raining. (雨が降っている) の現在完了形

※もし仮にIt has begun raining for two hours.ならば、
Rainが現在分詞(=raining)にはなりませんし、
2時間ずっと雨が降り始め続けている という意味の分からない文章になると思います

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