回答

whatever we canが1つの塊がdo の目的語ということですか? → その通りです。
構文は以下の通りです。
We(S1) must do(V1) <whatever we(S2) can(V2)>(O1) <to help them modernize their country>(不定詞・副詞的用法)(M).

参考にしてください。

Hi(受験生)

あともう一つ質問なのですが、
なぜwhatever we can (do)とdoが省略されているのですか?

taka

なぜwhatever we can (do)とdoが省略されているのですか? 
→ いわゆる「重複」を避けるためです。doを残しても構いませんが、通常省略します。
We [must(助動詞) do(動詞)] whatever we [can(助動詞) (do)(動詞)] …

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