other は形容詞で、後に名詞を伴って
「他の～」「別の～」
という意味になります。
ただし、文脈によって明らかな場合はその名詞が省略されることがあります。
another は「an」＋「other」なので
another と the other の違いはそのまま
「a」と「the」の違いです。
an apple 「(ある)１つのリンゴ」
another apple 「もう１つのリンゴ」
the apple 「そのリンゴ」
the other apple 「(特定された)別のリンゴ」
また、the other は３つ以上のものの中で「残りの～」という意味になることもあります。
There're three rooms.
One is mine, another is my sister's and the other is my parents'.
３部屋あります。
ひとつは私の部屋で、もうひとつは妹のもので、残りの部屋は両親のものです。
(Weblio英語辞書)
中心となるイメージを押さえたら、辞書やWebで用例を見比べてみれば、その違いがだんだんと分かってくると思います。
ありがとうございます