物理
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5-c, 6-bを教えていただきたいです

5) 図 4.2 に示すように抵抗値 R の抵抗と容量Cのコンデンサが接続された回路がある. 入力を電圧e(t), 出力をコンデンサ両端の電圧vc (t) とする. 問5)においては, t=0 で 回路は静止状態にあるものとする. 静止状態とは,すべての素子に流れる電流,及び 素子両端間の電位差が0である状態をいう. a)この回路の入出力間の伝達関数H(s) = Vc(s)/E (s)を求めよ. ここで, Vc(s), E(s)は, それぞれ, vc(t) とe(t) のラプラス変換である. b)この回路に入力として, 高さ のステップ電圧e (t) = vou(t) を与えた時の出力vc(t) を求め,さらに図示せよ。 ただし, v > 0 とする. c) この回路に入力として, パルス幅Tで高さv のパルス電圧を与えた時の出力v(t)を 求め,さらに図示せよ。このとき, 入力e(t) は,式 (4.2) で定義したパルス波p (t) を 用いて, e(t) = vop (t) と表すことができる. し 単位ステップ関数をuct)として Pit) = u(t) - ult-Ti) e(t) R C vc(t) 図 4.2 RC 回路 6) 図 4.2の回路の入力として, パルス幅T」で高さ v のパルス電圧を周期Tで繰り返し与 える.ただし,T> T1 とする. 十分に遠い過去から入力が与えられ, t≧0では回路が 定常状態に達しているとする.定常状態では, vc(t) = vc(t + T)となっている.この とき,0≤t<Tの1周期の出力を求めたい. a) 図 4.2の回路で, vc (0) 0の場合の, E(s)とVc(s) の間に成り立つ関係式を求めよ.こ こで, Vc(s), E(s) は, それぞれ, vc (t) とe(t) のラプラス変換である. b)上記 a)で求めた関係式を用いて,入力e(t)としてvop(t)を与えた時の出力v(t)を求 めよ.ただし, vc (0) は未知数として残したままで解くこと. e) 上記 b)で求めた式で, vc(0) = vc(T)の関係を用いてvc(0)を求めよ.

回答

✨ ベストアンサー ✨

5-c
入力e(t)と出力v(t)の関係は
e(t)=RCv'(t)+v(t)
である。
入力がe1のときの出力をv1
入力がe2のときの出力をv2
とすると
e1=RCv1'+v1
e2=RCv2'+v2
2式の和をとると
(e1+e2)=RC(v1+v2)'+(v1+v2)
これは
入力がv1(t)+v2(t)のとき出力がv1(t)+v2(t)であることを意味する。
これは微分方程式が線形であることによって、入力から出力への写像が線形写像であることに対応します。

この事実を用いると
v0p(t)=v0(u(t)-u(t-T1))が入力のときの出力は
入力がv0u(t)のときの出力と
入力がv0u(t-T1)のときの出力
の差になります。
よって前問の結果を用いて計算できます。

6-b
同様に考えると、入力のパルス波を2つのステップ関数に分解して、それぞれのステップ関数の出力の差として求めます。

線形回路 線形応答 ラプラス変換 重ね合わせの原理
Crystal Clear

訂正

入力がv1(t)+v2(t)のとき出力がv1(t)+v2(t)であること

入力がe1(t)+e2(t)のとき出力がv1(t)+v2(t)であること

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