回答

申し上げるだろうこと はおそらく推量の訳し方ですね。
この場合の「む」は婉曲で訳します。よって 申し上げる「ような」こと となります。

ace

どうやってみわけるんですか?

ace

だろうこと でも違和感なくないですか?

「む」の下に体言がある時は婉曲「〜ような体言」で訳します。
また、婉曲の「む」は、訳さなくても意味が通じます(例文だと、申し上げる「ような」こと で、「ような」がなくても意味は通じますよね?)
「む」の下に助詞(に、は、こそ など)または体言がある時は仮定「〜としたら」で訳します。
「む」の下に体言がある時、婉曲と仮定両方有り得るわけですが、後は文脈判断となります(ほとんどは婉曲)。

こちらも参考に
https://yuki-manabi.hatenablog.com/entry/mu-shikibetu

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