このmeは動名詞turningの意味上の主語です。
つまり、turning onするのは誰かというと、me（私）なのです。
動名詞の意味上の主語は、所有格で書くか目的格で書くかのどちらかと決まっています。
meがないとどうなるか
Do you mind turning on the air conditioner.
動名詞の意味上の主語が明示されていない場合は、
文全体の主語と一致する、と決まっています。
つまりこの場合は、turning onするのは、Do you mind〜？の部分の主語のyouなんです。
だから「（あなたが）エアコンつけてくれますか？」ってお願いしているのです。
meがある場合は（所有格のmyでも良い）
Do you mind me turning on the air conditioner?
Do you mind my turning on the air conditioner?
me/my がturning onするので、
「（私が）エアコンつけてもいいですか？」と尋ねているのです。
