Question

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2つの平面曲線A,Bの曲率が同じであれば、BはAを適当に回転&並進することで得られる、という命題の証明なんですけど、式2-37がどのような理屈で出てきたのかが分かりません。

分かっている事は以下の通りです。
・曲線が全てのパラメータで一致するには、そのパラメータにおける曲線上の点の位置ベクトルの差がパラメータによらないこと。

・定ベクトルであることを示すには、その微分が零ベクトルとなること。

・曲線上の位置ベクトルの微分はその位置での接ベクトルとなること。

・接ベクトルが一致するためには、そのベクトルの成分がすべて一致すること。

$2. 平面曲線
9
さて,逆に2つの曲線 p(s) と 戸(s) の曲率 r(s) と r(s) が等しいなら
ば,戸はpから回転と平行移動によって得られることを証明しよう。その
ために,まず,適当な回転と平行移動で,1つのパラメーター値 so におい
て,
(2.33)
p(so) = p(so), e₁(So) = ē1(So)
(したがって, ez(so)=e2(so)) となるようにする. 曲線pと戸を点の運動
と考えたとき,出発時 so において, p と 戸の位置および速度ベクトルが一
致するようにしておくわけである. このような状態のとき p(s)=(s) が
すべてのsに対して成り立つことを示せばよいわけである。
まずベクトル el, ez, el, ez の成分をそれぞれ
e₁ = (§11, §12),
e2 = (§21, 22),
(2.34)
ē₁ = (§11, 12),
ē2 = (§21, 22)
と表して、2つの行列
11 12
§11 12
(2.35)
X =
X =
€21
21 22
を考える.eとeは直交している単位ベクトルであるから, Xは直交行
列,同様にXも直交行列である. p (so) = (so) であるから p(s) = n(s)
を証明するためには, p(s) - 戸(s) がsによらない定ベクトルであること,
すなわち
(2.36)
d - (p(s) — p(s)) = 0
ds
を示せばよいわけである。 (2.36) の左辺は er(s) er(s) であるから
ku(s) = n(s) 512(s)=E12(s) を証明すればよいのであるが,そのため
に
(2.37)
(§11 — §11)² + (§21 - 21)² = 0,
(§12 — §12)² + (§22 — § 22)² = 0
となることを証明する。ここで (Sun)+ (512-12)2 を考えないで
(2,37) を考えるところが証明の要点といえる。

微分幾何学 平面曲線

Answer 1

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2.36は
e1=e1ﾊﾞｰ
ですが
2.36をsで微分して規格化すると
e2=e2ﾊﾞｰ
も出てきます。
この２条件と2.37は同値です

最頻

e1=e1⁻ からe2=e2⁻ が出てくるのも分かりますが、なぜ成分の差の二乗を足すという発想に至ったのかが読み取れません。これは先のe1=e1⁻ やe2=e2⁻ から同値変形するのでしょうか？

Crystal Clear

どういう発想で2.37にしたかはこのあとの証明を見なければわかりませんが、確かに不自然な感じがします。
いろいろな証明法がありそうなので、自分で自然と感じられる証明を考えるor調べるのがいいかもしれません。

2.37は各変数が実数であるときに示すべき命題と同値になります。実数だからそれでいいのですが、本質的には実数であることを使う必要がないように感じます。マジメに考えていないですが。