✨ ベストアンサー ✨
回答に誤りがあったのでコメントを消したらご指摘もすべて消えてしまったので訂正して再掲します。
I know that you broke the window two weeks ago.
におけるthatは「～ということ」を示す接続詞で、省略が可能です。
knowに限らず、think, feelなど「思考や認識を表す動詞（伝達動詞reporting verbs）」以降にあるthat節のthatは、くだけた会話文では特に省略される傾向にあるとのことです（Cambridge Dictionaryより）。
*テストには出そうもないので暇なら読んでください。
以下のウェブサイトでは「接続詞thatを省略すると文の情報の質が変化する」とする見解を紹介しています。
https://spice-of-englishgrammar.com/ellipsis-of-that/
教えてくれてありがとうございます！