Question

みえ

ベクトル解析の初歩です。
数学苦手過ぎて高校生レベルで躓いています。
例題1.2(2)ですが式を展開すると2枚目最後のように2(X1Y1+X2Y2)が残ってしまい1枚目教科書のように展開できません。
数学に2年ほど触れておらず本当にできなくなっているので誰か助けて下さい。お願いします。

となることが分かります。 なお, 等号が成立するのは, 3点2,y,zが同一直
例題1.2:(1) R° 上の2点A(12,3), B(1, -1)の間の距離 ABを求めなさ
い。
(2) =
(21, 2), 9 = (y, 32), 2 = (21, 22) e R° とするとき,
d2(2, z) S de(m,y) + d2(y,2)
ん
が成り立つことを確認しなさい。
解:(1) AB=v(1+ 2)? + (-1-3)? =D v9 + 16 =5.
(2) de(z, 9) = V(E1-1)+ (12 - y2)?であるから, 示すことは
V(21 - 2)?+ (T2 -- 2)?V(21-)? + (22- y2)2+V(y1- )? + (2-22
です。1 - 1 = Xi, 22 - y2 = X2,yi - 21 = Yi, Y2 - 22 = Y2 とおいてみ
ると,
C1- 21 =
- (21 - 1) + (1 - 21)=D Xi+ Yi
02 - 22 = (22 - y2) + (y2 - 22) = X2 + Y2
となりますから
V(X) + Y)? +(X2 +Y)?VX+X}+VY?+Y
を示せばよいことが分かります。 一般に, 実数 A,Bに対して0SASBで
あるとき, A°< B° なら ASBが成り立ちますから,
2
2
(Vx+ X3+ \?+) - (V(X)+Y) + (Xa+ Ya)}) 20
を示せばよいことになります。 平方根の中身はすべて0以上ですから, 上の
不等式の左辺を展開すると
= 2V(X?+X3)(Y? ++Y})20
となることが分かります。 なお、 等号が成立するのは, 3点c,y,2"
線上にあるときであることも分かります。

AB=(I+2)"+(-1-3)?
+ 16
25
:5
tH
(2) ベ= (以,X..4:(け.4.),と= (21,2,) ER aくき
d.(m,2)E de(K,4+d.(8,2)
の解認
d. (^-4)(ー分+(ュ-)
(i-2)+(スュー2。) 全 (K,-】+(K~サッ)+(なー2.ア+(ケェーで
メ-8.2メ. NューフェX2,7:- 2, = Y, 【竹っ-2.Y, とする。
N (K, - ミド+(がてーマッ)ド全メ2 + メ2 十/Y ?
以、ー2,ニ (バi-ケ,) + (3.ーを) =メ,十 Y,
K.- 2.: (ベ2-42) + [4.~2)メュ+ Y2
「(,tY)+(x2t) +3 )
+(X2t Ye)S」×、?+X=
+Y+Y.? ススオプ)
197+XY+3
0をASBoとき A*← B?なら A< B
B--A:20
5。
25
K*+ 2K7+
(eaY 0
{(x2+X=}+2,%,?tX")(Yり+ Yご"+(2rt)き
{x,+X,?)+2,G,2+ tY2)
2
いt)+(メッ+た)
+Y2
24+X) (tY.") -2(水ソ+X Ye) ?0
メーX)+(以みマトス以+にメ+ん5(人れでりけ、ぱ入ト。人)(に入+っ+(人れ、みりト
BUFFU

ベクトル解析 ベクトル 式の展開 平方根

Answer 1

暇つぶし

みえさんの計算が合っていると思います．
√{(X1^2+X2^2)(Y1^2+Y2^2)} >= X1Y1+X2Y2
について，
X1Y1+X2Y2 < 0
の時は明らかに成り立つので，
X1Y1+X2Y2 >= 0
のとき，成立するかを考えます．
(X1Y1+X2Y2 = |X1Y1+X2Y2| と書ける)

コーシーシュワルツの不等式より，
(X1^2+X2^2)(Y1^2+Y2^2) >= (X1Y1+X2Y2)^2
なので，両辺の平方根をとり，(0 <= a <= b なら √a <= √b)
√{(X1^2+X2^2)(Y1^2+Y2^2)} >= |X1Y1+X2Y2| = X1Y1+X2Y2
を得るので成立します．