Question

ペンローズ

(5.106)の等号ってどのように変形してますか？

る:
「0Q OP。
Opj
8gk
* det
dg'
OP。
dgk gk
= det
Ogi
Oqs
Ogk
(5.104)
ニ
det
0Q aP。
0e
LaQk aQk
dqi
Opj
OQe
OPe
OP。
LaQe Qk
LOp;
Op;
ーれをA-J= Bと書くと、qと Pj は互いに独立で,Q' と P, は互いに独立
であることから,正準変換の母関数W=W(q,Q,t)を用いて,
anon
o°w(q,Q,t)
0Q*0gi 」
0
ん
A= det | 0q'
Op」
det
(5.105)
= det
ニ
Opj
ニ
のLOQ 0Qk」
「OQ (OPe]
dgk dgk
Ny
OP,
= (-1)” det
Ogk
B= det
の合
de
変換とLo°k 0
ぐあ?
Iで3 (-1)" det
15.8
「o°W(q.Q.t)]
0Qi0gk
(5.106)
= det
Ogh8Q

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

(-1)^nのついているところがおかしいですね。

まず初めの2n*2n行列で右のn列と左のn列を交換して、左下に0が来るようにする。n回行の入れ替えがあるから(-1)^nがつく。
ブロック行列の行列式に従えば、
(-1)^n det[∂Pj/∂qk]
正準変換の母関数を使えば、
(-1)^n det[ - ∂²W/∂qk∂Qj ]
n*n行列だから成分の(-1)は行列式を(-1)^n倍させるので
(-1)^n (-1)^n det[∂²W/∂qk∂Qj ] = det[∂²W/∂qk∂Qj ]
最後に2階微分の順番を入れ替えて、行列の転置をとると、最終形になる。
最後の行列の転置の必要性はわかりづらいので、3*3行列などで確かめるとわかりやすい。

式でちゃんと書くなら、
行列 ∂²W/∂q∂Q を
(∂²W/∂q∂Q)ij = ∂²W/∂qi∂Qj
で定義する。このとき
(∂²W/∂q∂Q)ij = ∂²W/∂qi∂Qj = ∂²W/∂Qj∂qi = (∂²W/∂Q∂q)ji = ((∂²W/∂Q∂q)^T)ij
ゆえに
∂²W/∂q∂Q = (∂²W/∂Q∂q)^T
よって
det[∂²W/∂q∂Q] = det[(∂²W/∂Q∂q)^T] = det[∂²W/∂Q∂q]

正準変換