Question

みざわ

(3)の問題で浮力の向きが図のようになる理由を教えてください！

物理2次特編3回目 時間:20~30分
1)
Po
図のような熱気球がある。風船部分の体積をV, 全体の
質量を Mとする(風船内の空気の質量は含まない)。風船内
の温度は大気の温度とは無関係に自由に制御できる一方,
風船部分には空気の出入りロがあり,風船内の圧力は常に
大気と同じ値に維持される。風船内部の空気を加熱すると,
大気と比べて密度が低くなるため,熱気球は遅力を得る。
地表付近の大気は, 絶対温度To, 圧力 P。であった。気体
定数をR, 空気のモル質量(1mol 当たりの質量)をm, 重
カ加速度の大きさをgとする。以下では, 風船部分の体積Vは一定であり,風船部分以
外からの浮力はないものとする。また, 気球の高さは十分小さく,風船内の空気の圧力は
一様であるとみなしてよい。空気は理想気体として取り扱うことができるものとして,次
の問いに答えよ。
V
M
M
To, Po
ア
2 n
初め,風船内の空気は大気と同じ温度であり, 熱気球は浮上しておらず, 地面に接して
いた。
Po=
(1) 風船内の空気の質量を To,Po, m, R, Vを用いて表せ。
(2) 地表付近の大気の密度 PoをTo, Po, m, Rを用いて表せ。
(3) 風船内の空気の温度をゆっくりと上げていくと, ある温度で熱気球が地面から離れ
た。このときの風船内の空気の密度 p」を Po, V, Mを用いて表せ。また,このとき
の風船内の空気の温度T,を Po, P1, T,を用いて表せ。
(4) 風船内の空気の温度をどれほど上げることができたとしても,熱気球の質量が大き
すぎれば浮上しない。すなわち, 熱気球が浮上することができるとき, その質量 Mは
ある値 M。より小さくならなくてはならない。M。を Po, V, gのうち必要なものを用
いて表せ。
(5) To=300 K, Po=1000 hPa, V=2000 m° のとき, M,を計算せよ。 必要なら
g=9.8 m/s?, m=29 g/mol, R=8.3 J/(mol-K) を用いよ。有効数字1桁まで求め,
解答には単位も付すこと。
c3)
Pit
次に,浮上し始める温度T, が一T。となるように熱気球の質量Mを調整した。
(6) このときの熱気球の質量 MをTo, Po, m, R, Vのうち必要なものを用いて表せ。
その後,風船内の空気の温度をT,よりわずかに上げ, 熱気球が浮上した後すぐに空気
の温度をT,に戻した。すると, 熱気球は地表から h(>0)の高さまで上昇し, 静止した。
大気の圧力と温度は高所では減少することが知られている。地表付近では, 地表からの高
さxの関数として大気の圧力 P(x) と温度T(x) を以下のように定数αおよびβを用いて
近似的に表すことができる。
P(x) =P1-
T。
号)
T(x) =To-Bx
上式が常に成りたつものとして次の問いに答えよ。
(7) 高さ*での大気の密度をT。 Po m
Ra
のるキ ン の ロ」

解答-解説 物理2次特編 3回目
時間:20~30分
mP,V
RT。
mP。
RT。
M
(3) P1:Poーマ
P0T。
受,T:
P1
解 (1)
(4) PoV
F
Pal
よって P1=
mPV
6RT。
mP。(T。-ax)
RT。(To-Bx)
68-aT。
5aB
(5) 2×10° kg
M
ゆえに,同1
(9) 1.3×10°m
P1=P
(解説
(1) 風船内の空気の物質量をnとする。理想気体の状態方程式「V=nRT」より
5
6P0=
Po
PoV=nRT。
P。V
2=
よって
RT。
ゆえに,空気のモル質量が mであることから,求める風船内の空気の質量は
Po
~ニ
P。V
RT。
mP。V
RT。
したがっ
mn=m
(2) Poは単位体積当たりの質量である。単位体積当たりの物質量をn'として,
「V=nRT」を用いると Po·1=n'RT。
ここで、
gn
M
P。
よって n'=.
RT。
(7) 求め
mP。
RT。
(3) 地面から離れる瞬間,熱気球にはたらく力はつりあうと考えてよい。浮力の式
空気のモル質量mを用いてPo=mn'=
すれば
e
「F=pVg」を用い, 鉛直下向きを正として, 力のつりあいの式を立てると
PVg+ Mg-poVg=0
(8) 熱
M
よって P1=Po-s
V
船内
このときの風船内の空気の物質量をn" とすると, モル質量と密度の関係から
p'
mn"=p,V
V
よって n"=ーP1
m
(2)の結果より,mPo=poRT,が成りたっていることを考慮し、「V=nRT」より
や和から離れる直前→N- 0
Povy
PoV=n"RT\
V
PV=-P RT,
m
mPo=P.RT」
PoRT。=P,RT
evg
よって T=PoT。
P1
N=Q
(4)(3)の結果より, T, → 8のとき, P:→0とみなせる。よって, 熱気球にはたらく
浮力が重力より大きければよい。「F=pVg」を用いて
Mg<poVg
ゆえに M<poV
したがって Mo=poV
(5)(2) の結果を用いると
mP,V
Mo=PoV=
RT。
29×10-3.105-2.0×10°
8.3-300
58
24.9
-x10°=2.32.…×10°=2×10°kg
(6) (3)の結果より