Question

しょくぱん

この問題の②が全く分からないです。
なぜ公約数を使うのかがわかりません。
どなたか教えてください🙇‍♀️

AとBを用いて,1辺の長さが acm(aは奇数)の
正方形をつくる。Aをもっとも多く用いたとき, 図3
のように,a=3 の正方形を1番目の正方形,a=5
の正方形を2番目の正方形,a=7 の正方形を3番
目の正方形,……とする。次の①, ②に答えなさい。
図3
B
A
B
A
A
B
A
B
B
A
B
A
A
A
B
A
B
B
A
B
A
A
B
A
A
B
BB|B|B|BB|B
1番目
2番目
3番目
0n番目の正方形をつくったところ, AとBを用
いた枚数の合計が61枚であった。このとき, nの
値を求めなさい。
2
AとBをそれぞれ何枚か用いて, m番目の正
万形だけをいくつかつくる。 これらをすき間なく
車ならないように並べて, 縦の長さが180cm, 横
の長さが270cmの長方形をつくるとき, 考えられ
るm の値のうち, もっとも大きい値を求めなさい。

m番目の正方形の1辺の長さをx emとすると,
xは180と270の公約数(共通な約数)になる。 mの値
(zの値)がもっとも大きくなるとき, αは奇数だか
ら45 また,m番目の正方形の1辺は 2m+1(cm)
だから,2m+1=45, 2m=44
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ガラス固化体@プロフ読んで

正方形を敷き詰めて長方形を作るとき長方形の各辺は
必ず正方形の整数倍になってますよね
てことは逆にいうと長方形の各辺はかならず正方形の一辺で割り切れるということです
どちらの辺も共通の数で割り切れるということなので、各辺の公約数のうちどれかが、小さい正方形の一辺ということになります

ちなみにこんなに難しそうなこと考えなくてもこれは解けます。多少計算量は多いですが
以下一例

長方形の縦の辺について、正方形の1辺が(2m+1)であり、
(2m+1)×a=180と書ける。
180=2²×3²×5と2m+1が奇数なことを用いると
((2m+1),a)=(1,180),(3,60),(9,20),(15,12),(45,4)の可能性がある。
mが一番大きい時当然2m+1も一番大きいので、2m+1=45とすると、270=45×6となり、条件を満たす。
よってm=22

しょくぱん

ありがとうございます😭
すみません🙇‍♀️なぜ180を分解するんですか？

ガラス固化体@プロフ読んで

縦の180は正方形の一辺×整数でできてるのはわかりますよね
180が何からできているかわかれば正方形の一辺が予測できます

しょくぱん

そういうことですか！
ありがとうございます！わかりました！