めいさん、こんばんは。
ちょうど似たような問題に今日回答しましたので類題ということで画像を貼っています。
nで表す式を直接作るのは、実は高校の範囲（数列）になります。私立の入試では数列の知識を普通に使用することはありますが、この問題は富山の公立入試の問題のようですので、nで表す式を使わずに解くことが意図されています。
棒が234個ということは、三角形が
234÷3=78 個
あるということです。
n段作ったときの三角形の個数は、
1からnまでの和
になります。
1+2+3+4+... と足していると、12まで足したときにちょうど78になるので、答えは12となります。
なお、数列の知識を使ってnの式にしたい場合、画像の下のほうにある、順序を逆にしたものを足す方法を使うと、
S=1+2+3+...+nとして、順序を、逆にした
S=n+...+3+2+1
と和をとる（足し算する）と、右辺はn+1がn回登場するため、
2S=(n+1)×n となることがわかるので、
S= n(n+1)/2
となります。
棒の数は三角形の数の三倍なので、n段作るために必要な棒の数は
3S=3n(n+1)/2
となり、
3n(n+1)/2=243
という二次方程式を解くことになります。
ただし、上記のように方程式によらずに解くこともできますので、こちらはご参考までにということでお願いします。
1+2+...+n = n(n+1)/2 になる理由をもう少し詳しく書いたものを追加しておきます。